Richiamo La δ di Dirac e la sua derivata

La $\delta$ si definisce con l’uguaglianza seguente, valida per ogni funzione $f(x)$ sufficientemente regolare:

È questa uguaglianza a definirla: la $\delta$ è caratterizzata da ciò che produce sotto il segno di integrale, non dai valori che assume punto per punto.

Nessuna funzione ordinaria può soddisfarla: dovrebbe valere zero dappertutto tranne in un punto e avere comunque integrale uno. La $\delta$ appartiene infatti a una classe più ampia di oggetti, le distribuzioni.

Se serve un’immagine, si può pensare alla $\delta$ come al limite di funzioni sempre più strette e sempre più alte, con area sempre uguale a uno — per esempio gaussiane la cui larghezza tende a zero. Quel limite non esiste come funzione, ma la regola qui sopra sì, ed è l’unica cosa che si usa.

La derivata. Anche questa si definisce per il suo effetto sotto integrale, e la definizione si sceglie in modo che continui a valere l’integrazione per parti. Portando la derivata dalla $\delta$ alla funzione, il termine di bordo si annulla — la $\delta$ è nulla lontano dall’origine — e resta:

In parole: la derivata della $\delta$, applicata a una funzione, restituisce meno la derivata di quella funzione, valutata nel punto. Il segno meno viene dall’integrazione per parti, non da una convenzione.

Perché serve nella scheda. L’operatore derivata, scritto come matrice a dimensione infinita $A(x,x')$, ha per nucleo proprio $-d\delta(x'-x)/dx'$. Il conto della scheda è la verifica di questo fatto, ed è un’applicazione diretta della formula qui sopra.

Un avvertimento. I passaggi che si fanno con la $\delta$ — derivarla, integrarla per parti — sono leciti perché sono definizioni, non teoremi sulle funzioni ordinarie. Il quadro che li rende rigorosi è la teoria delle distribuzioni, dovuta a Laurent Schwartz; qui non serve conoscerla: bastano le due righe di definizione.