Nota 06 Torna al Cap. 05 · L’hamiltoniana e l’equazione di Schrödinger
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Precisazione La media del campo e il campo nella posizione media

Nella scheda, per avere accordo con l’equazione di Newton, chiediamo che sia

d2⟨x⟩/dt2=q⟨E(x)⟩/md^2\langle x\rangle/dt^2=q\langle E(x)\rangle/m

Al secondo membro c’è la media del campo, calcolata sulla distribuzione di probabilità della posizione:

⟨E(x)⟩=∫−∞+∞p(x)E(x)  dx\langle E(x)\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}p(x)E(x)\;dx

Non è la stessa cosa che scrivere E(⟨x⟩)E(\langle x\rangle), il campo valutato nella posizione media. È quest’ultima la grandezza di cui parla l’equazione di Newton, che descrive una particella in un punto. Le due coincidono se E(x)E(x) dipende linearmente da xx, e in generale no: la media di una funzione non è la funzione della media.

Vediamo di quanto differiscono. Sviluppiamo il campo attorno alla posizione media:

E(x)=E(⟨x⟩)+dEdx∣⟨x⟩(x−⟨x⟩)+12d2Edx2∣⟨x⟩(x−⟨x⟩)2+…E(x)=E(\langle x\rangle)+\left.\frac{dE}{dx}\right|_{\langle x\rangle}(x-\langle x\rangle)+\frac{1}{2}\left.\frac{d^2E}{dx^2}\right|_{\langle x\rangle}{(x-\langle x\rangle)}^2+\dots

Prendendo la media termine a termine, il primo termine è già un numero, il secondo si annulla perché ⟨x−⟨x⟩⟩=0\langle x-\langle x\rangle\rangle=0, e resta

⟨E(x)⟩=E(⟨x⟩)+12d2Edx2∣⟨x⟩⟨(x−⟨x⟩)2⟩+…\langle E(x)\rangle=E(\langle x\rangle)+\frac{1}{2}\left.\frac{d^2E}{dx^2}\right|_{\langle x\rangle}\langle{(x-\langle x\rangle)}^2\rangle+\dots

Lo scarto è governato dalla varianza della posizione moltiplicata per la derivata seconda del campo. È trascurabile quando la distribuzione di probabilità è stretta rispetto alla scala su cui il campo cambia.

Perché questo basta. È la condizione posta dal quarto principio enunciato nell’introduzione: l’accordo con Newton è richiesto nelle condizioni in cui le leggi di Newton sono verificate dall’esperienza, e quelle sono appunto le condizioni in cui la particella è ben localizzata rispetto a come varia il campo. Quando la distribuzione è larga, la posizione media non segue nessuna traiettoria newtoniana — ed è lì che la teoria dice qualcosa che la meccanica classica non dice.

Le equazioni per i valori medi ricavate nella scheda sono note come teorema di Ehrenfest (1927); la condizione appena vista è quella che il teorema richiede perché il moto medio risulti newtoniano.

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La Quantistica · Nota N.06 · Rev. 2026 F. Palma