Nota 10 Torna al Cap. 05 · L’hamiltoniana e l’equazione di Schrödinger
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Il calcolo Le formule sui commutatori

Nella scheda abbiamo enunciato quattro formule sui commutatori e le abbiamo usate per determinare la matrice hamiltoniana. Qui le dimostriamo.

Supponiamo che la funzione f(X)f(X) sia sviluppabile in serie di potenze

f(X)=∑n=−∞+∞fnXnf(X)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f_nX^n

La derivata di questa funzione è

df(X)dX=∑−∞+∞fnnXn−1\frac{df(X)}{dX}=\sum_{-\infty}^{+\infty}f_nnX^{n-1}

Quindi per dimostrare la 1a dobbiamo verificare la seguente identità

[K,∑n=−∞+∞fnXn]=i∑n=−∞+∞nfnXn−1\left[K,\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f_nX^n\right]=i\sum_{n=-\infty}^{+\infty}nf_nX^{n-1}

Analogamente per la 2a dobbiamo verificare la seguente identità

[X,∑−∞∞fnKn]=−i∑−∞∞nfnKn−1\left[X,\sum_{-\infty}^\infty f_nK^n\right]=-i\sum_{-\infty}^\infty nf_nK^{n-1}

Noi dimostreremo che i termini delle sommatorie ai primi membri sono uguali a uno a uno ai termini delle sommatorie ai secondi membri:

[K,fnXn]=infnXn−1⇔[K,Xn]=inXn−1[X,fnKn]=−infnKn−1⇔[X,Kn]=−inKn−1\begin{aligned} [K,f_nX^n] & =inf_nX^{n-1}\Leftrightarrow \\ [K,X^n] & =inX^{n-1} \\ [X,f_nK^n] & =-inf_nK^{n-1}\Leftrightarrow \\ [X,K^n] & =-inK^{n-1} \end{aligned}∀n∈1…∞\forall n\in1\dots\infty

Eseguiamo una dimostrazione per induzione.

Per n=1n=1 dobbiamo verificare che

[K,X]=iI  [X,K]=−iI\begin{aligned} [K,X] & =iI\;[X,K] \\ & =-iI \end{aligned}

Cominciamo dalla prima. Consideriamo una generica funzione ψ(x)\psi(x)

[K,X]ψ(x)=KXψ(x)−XKψ(x)=iddx(xψ(x))−xddxψ(x)=iψ(x)+xddxψ(x)−xddxψ(x)=iψ(x)\begin{aligned} [K,X]\psi(x) & =KX\psi(x)-XK\psi(x) \\ & =i\frac{d}{dx}(x\psi(x))-x\frac{d}{dx}\psi(x) \\ & =i\psi(x)+x\frac{d}{dx}\psi(x)-x\frac{d}{dx}\psi(x) \\ & =i\psi(x) \end{aligned}

quindi [K,X]ψ(x)=iψ(x)[K,X]\psi(x)=i\psi(x). Essendo vera per ogni ψ(x)\psi(x) possiamo dedurre [K,X]=iI[K,X]=iI.

La seconda a questo punto è ovvia, infatti [X,K]=−[K,X]=−iI[X,K]=-[K,X]=-iI.

Ora dimostriamo che se le formule

[K,Xn]=inXn−1  [X,Kn]=−inKn−1\begin{aligned} [K,X^n] & =inX^{n-1}\;[X,K^n] \\ & =-inK^{n-1} \end{aligned}

sono vere per n allora sono vere anche per n+1n+1 e per n−1n-1.

Cominciamo dalla prima e dimostriamo che se è vera per n allora è vera anche per n+1n+1

[K,Xn+1]=KXn+1−Xn+1K=KXn+1−XnXK=\begin{aligned} \left[K,X^{n+1}\right] & =KX^{n+1}-X^{n+1}K \\ & =KX^{n+1}-X^nXK= \end{aligned}

applicando la formula valida per n=1n=1

=KXn+1+Xn(iI−KX)=KXn+1+iXn−XnKX=iXn+(KXn−XnK)X=\begin{aligned} & =KX^{n+1}+X^n(iI-KX) \\ & =KX^{n+1}+iX^n-X^nKX \\ & =iX^n+(KX^n-X^nK)X= \end{aligned}

applicando la formula valida per n

=iXn+inXn−1X=iXn+inXn=i(n+1)XnCome volevasi dimostrare.\begin{aligned} & =iX^n+inX^{n-1}X \\ & =iX^n+inX^n \\ & =i(n+1)X^n\quad\text{Come volevasi dimostrare.} \end{aligned}

Ora dimostriamo che se è vera per n allora è vera anche per n−1n-1

[K,Xn−1]=KXn−1−Xn−1K=X−1XKXn−1−Xn−1K=\begin{aligned} \left[K,X^{n-1}\right] & =KX^{n-1}-X^{n-1}K \\ & =X^{-1}XKX^{n-1}-X^{n-1}K= \end{aligned}

applicando la formula valida per n=1n=1

=X−1(−iI+KX)Xn−1−Xn−1K=−iXn−2+X−1KXn−X−1XnK=−iXn−2+X−1(KXn−XnK)\begin{aligned} & =X^{-1}(-iI+KX)X^{n-1}-X^{n-1}K \\ & =-iX^{n-2}+X^{-1}KX^n-X^{-1}X^nK \\ & =-iX^{n-2}+X^{-1}(KX^n-X^nK) \end{aligned}

applicando la formula valida per n

−iXn−2+X−1inXn−1=−iXn−2+inXn−2=i(n−1)Xn−2Come volevasi dimostrare.\begin{aligned} -iX^{n-2}+X^{-1}inX^{n-1} & =-iX^{n-2}+inX^{n-2} \\ & =i(n-1)X^{n-2}\quad\text{Come volevasi dimostrare.} \end{aligned}

Per la 2a i passaggi sono identici.

La 3a e la 4a sono praticamente ovvie, è valgono per qualsiasi operatore A infatti

[A,An]=AAn−AnA=An+1−An+1=0\begin{aligned} [A,A^n] & =AA^n-A^nA \\ & =A^{n+1}-A^{n+1} \\ & =0 \end{aligned}
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La Quantistica · Nota N.10 · Rev. 2026 F. Palma