Il calcolo Le due appendici al calcolo della diffusione
Il calcolo della formula di diffusione si appoggia a due risultati che qui ricaviamo per esteso: la soluzione generale dell’equazione di Helmholtz e un integrale che compare due volte nel testo.
Appendice 1. Equazione di Helmholtz. L’equazione che abbiamo incontrato nel testo era del tipo:
∇ 2 ψ + k 2 ψ = f ( r ⃗ ) \nabla^2\psi+k^2\psi=f(\vec{r}) ∇ 2 ψ + k 2 ψ = f ( r ) con la condizione che ψ → e i k z \psi\to e^{ikz} ψ → e ik z z → − ∞ z\to-\infty z → − ∞
Per risolvere questo problema consideriamo prima l’equazione omogenea con la condizione al contorno effettiva:
{ ∇ 2 ψ + k 2 ψ = 0 con ψ ⟶ z → − ∞ e i k z ⇔ ψ = e i k z \begin{aligned}
\left\{\begin{gathered}
\nabla^2\psi+k^2\psi=0 \\
\text{con }\psi\underset{z\to-\infty}{\longrightarrow}e^{ikz}
\end{gathered}\right. & \Leftrightarrow \\
\psi & =e^{ikz}
\end{aligned} { ∇ 2 ψ + k 2 ψ = 0 con ψ z → − ∞ ⟶ e ik z ψ ⇔ = e ik z Ora risolviamo l’equazione completa con la condizione al contorno “nulla”: { ∇ 2 ψ + k 2 ψ = f ( r ‾ ) ψ ( r ‾ ) → 0 come 1 r \left\{\begin{gathered}
\nabla^2\psi+k^2\psi=f(\overline{r}) \\
\psi(\overline{r})\to0\ \text{come}\ \frac{1}{r}
\end{gathered}\right. ⎩ ⎨ ⎧ ∇ 2 ψ + k 2 ψ = f ( r ) ψ ( r ) → 0 come r 1
Determiniamo la soluzione quando il termine noto è la funzione di Dirac:
∇ 2 ψ + k 2 ψ = δ ( r ⃗ − r ⃗ ′ ) \nabla^2\psi+k^2\psi=\delta(\vec{r}-\vec{r}{\:}') ∇ 2 ψ + k 2 ψ = δ ( r − r ′ ) In questo caso la soluzione come verificheremo più avanti è
ψ = − e i k ∣ r ‾ − r ‾ ′ ∣ / ( 4 π ∣ r ‾ − r ‾ ′ ∣ ) \psi=-e^{ik|\overline{r}-{\overline{r}}'|}/(4\pi|\overline{r}-{\overline{r}}'|) ψ = − e ik ∣ r − r ′ ∣ / ( 4 π ∣ r − r ′ ∣ ) Utilizzando la linearità dell’equazione, dal fatto che:
f ( r ‾ ) = ∭ Tutto lo Spazio f ( r ‾ ′ ) δ ( r ‾ − r ‾ ′ ) d Ω ′ f(\overline{r})=\iiint_{\text{Tutto lo Spazio}}f(\overline{r}{\:}')\delta(\overline{r}-\overline{r}{\:}')\:d\Omega' f ( r ) = ∭ Tutto lo Spazio f ( r ′ ) δ ( r − r ′ ) d Ω ′ possiamo concludere che:
ψ = − 1 4 π ∭ Tutto lo Spazio f ( r ⃗ ′ ) e i k ∣ r ⃗ − r ⃗ ′ ∣ ∣ r ⃗ − r ⃗ ′ ∣ d Ω ′ \psi=-\frac{1}{4\pi}\iiint_{\text{Tutto lo Spazio}}f(\vec{r}{\:}')\frac{e^{ik|\vec{r}-\vec{r}{\:}'|}}{|\vec{r}-\vec{r}{\:}'|}d\Omega' ψ = − 4 π 1 ∭ Tutto lo Spazio f ( r ′ ) ∣ r − r ′ ∣ e ik ∣ r − r ′ ∣ d Ω ′ Sommando questa soluzione a quella trovata per l’equazione omogenea con la condizione iniziale effettiva abbiamo la formula applicata nel testo:
ψ = e i k z − 1 4 π ∭ Tutto lo Spazio f ( r ‾ ′ ) e i k ∣ r ‾ − r ‾ ′ ∣ ∣ r ‾ − r ‾ ′ ∣ d Ω ′ \psi=e^{ikz}-\frac{1}{4\pi}\iiint_{\text{Tutto lo Spazio}}f({\overline{r}}')\frac{e^{ik|\overline{r}-{\overline{r}}'|}}{|\overline{r}-{\overline{r}}'|}d\Omega' ψ = e ik z − 4 π 1 ∭ Tutto lo Spazio f ( r ′ ) ∣ r − r ′ ∣ e ik ∣ r − r ′ ∣ d Ω ′ Ora verifichiamo che la funzione ψ = − e i k ∣ r ⃗ − r ⃗ ′ ∣ / ( 4 π ∣ r ⃗ − r ⃗ ′ ∣ ) \psi=-e^{ik|\vec{r}-\vec{r}{\:}'|}/(4\pi|\vec{r}-\vec{r}{\:}'|) ψ = − e ik ∣ r − r ′ ∣ / ( 4 π ∣ r − r ′ ∣ ) ∇ 2 ψ + k 2 ψ = δ ( r ⃗ − r ⃗ ′ ) \nabla^2\psi+k^2\psi=\delta(\vec{r}-\vec{r}{\:}') ∇ 2 ψ + k 2 ψ = δ ( r − r ′ )
Prima proviamo che l’equazione è soddisfatta per ogni r ‾ ≠ r ‾ ′ \overline{r}\neq{\overline{r}}' r = r ′
per r ‾ ≠ r ‾ ′ \overline{r}\neq{\overline{r}}' r = r ′ δ ( r ⃗ − r ⃗ ′ ) = 0 \delta(\vec{r}-{\vec{r}}')=0 δ ( r − r ′ ) = 0 ∇ 2 ψ + k 2 ψ = 0 \nabla^2\psi+k^2\psi=0 ∇ 2 ψ + k 2 ψ = 0 r ‾ ′ {\overline{r}}' r ′
∇ 2 ψ + k 2 ψ = 0 ⇔ ∇ 2 ( − 1 4 π e i k ∣ r ⃗ − r ⃗ ′ ∣ ∣ r ⃗ − r ⃗ ′ ∣ ) + k 2 ( − 1 4 π e i k ∣ r ⃗ − r ⃗ ′ ∣ ∣ r ⃗ − r ⃗ ′ ∣ ) = 0 ⇔ \begin{aligned}
\nabla^2\psi+k^2\psi & =0\Leftrightarrow \\
\nabla^2\left(-\frac{1}{4\pi}\frac{e^{ik|\vec{r}-{\vec{r}}'|}}{|\vec{r}-{\vec{r}}'|}\right)+k^2\left(-\frac{1}{4\pi}\frac{e^{ik|\vec{r}-{\vec{r}}'|}}{|\vec{r}-{\vec{r}}'|}\right) & =0\Leftrightarrow
\end{aligned} ∇ 2 ψ + k 2 ψ ∇ 2 ( − 4 π 1 ∣ r − r ′ ∣ e ik ∣ r − r ′ ∣ ) + k 2 ( − 4 π 1 ∣ r − r ′ ∣ e ik ∣ r − r ′ ∣ ) = 0 ⇔ = 0 ⇔ sostituendo la formula per il laplaciano e semplificando i termini comuni
⇔ 1 r 2 d d r ( r 2 d d r e i k r r ) + k 2 e i k r r = 0 ⇔ 1 r 2 d d r ( r 2 ( i k e i k r r − e i k r r 2 ) ) + k 2 e i k r r = 0 ⇔ 1 r 2 d d r ( i k r e i k r − e i k r ) + k 2 e i k r r = 0 ⇔ 1 r 2 ( i k e i k r − r k 2 e i k r − i k e i k r ) + k 2 e i k r r = 0 ⇔ − 1 r 2 r k 2 e i k r + k 2 e i k r r = 0 Verificata . \begin{aligned}
\Leftrightarrow\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d}{dr}\frac{e^{ikr}}{r}\right)+k^2\frac{e^{ikr}}{r} & =0\Leftrightarrow \\
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\left(ik\frac{e^{ikr}}{r}-\frac{e^{ikr}}{r^2}\right)\right)+k^2\frac{e^{ikr}}{r} & =0\Leftrightarrow \\
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(ikre^{ikr}-e^{ikr}\right)+k^2\frac{e^{ikr}}{r} & =0\Leftrightarrow \\
\frac{1}{r^2}\left(ike^{ikr}-rk^2e^{ikr}-ike^{ikr}\right)+k^2\frac{e^{ikr}}{r} & =0\Leftrightarrow \\
-\frac{1}{r^2}rk^2e^{ikr}+k^2\frac{e^{ikr}}{r} & =0 \\
\text{Verificata}. &
\end{aligned} ⇔ r 2 1 d r d ( r 2 d r d r e ik r ) + k 2 r e ik r r 2 1 d r d ( r 2 ( ik r e ik r − r 2 e ik r ) ) + k 2 r e ik r r 2 1 d r d ( ik r e ik r − e ik r ) + k 2 r e ik r r 2 1 ( ik e ik r − r k 2 e ik r − ik e ik r ) + k 2 r e ik r − r 2 1 r k 2 e ik r + k 2 r e ik r Verificata . = 0 ⇔ = 0 ⇔ = 0 ⇔ = 0 ⇔ = 0 Come secondo punto proviamo che vale la proprietà della funzione di Dirac:
∭ ( ∇ 2 ψ + k 2 ψ ) d Ω ′ = 1 \iiint\left(\nabla^2\psi+k^2\psi\right)d\Omega'=1 ∭ ( ∇ 2 ψ + k 2 ψ ) d Ω ′ = 1 Sostituendo ψ = − e i k ∣ r ⃗ − r ⃗ ′ ∣ / ( 4 π ∣ r ⃗ − r ⃗ ′ ∣ ) \psi=-e^{ik|\vec{r}-\vec{r}{\:}'|}/(4\pi|\vec{r}-\vec{r}{\:}'|) ψ = − e ik ∣ r − r ′ ∣ / ( 4 π ∣ r − r ′ ∣ )
∭ Sfera centrata in r ‾ ( ∇ 2 ( − 1 4 π e i k ∣ r ‾ − r ‾ ′ ∣ ∣ r ‾ − r ‾ ′ ∣ ) + k 2 ( − 1 4 π e i k ∣ r ‾ − r ‾ ′ ∣ ∣ r ‾ − r ‾ ′ ∣ ) ) d Ω ′ = \iiint_{\text{Sfera centrata in }\overline{r}}\left(\nabla^2\left(-\frac{1}{4\pi}\frac{e^{ik|\overline{r}-{\overline{r}}'|}}{|\overline{r}-{\overline{r}}'|}\right)+k^2\left(-\frac{1}{4\pi}\frac{e^{ik|\overline{r}-{\overline{r}}'|}}{|\overline{r}-{\overline{r}}'|}\right)\right)d\Omega'= ∭ Sfera centrata in r ( ∇ 2 ( − 4 π 1 ∣ r − r ′ ∣ e ik ∣ r − r ′ ∣ ) + k 2 ( − 4 π 1 ∣ r − r ′ ∣ e ik ∣ r − r ′ ∣ ) ) d Ω ′ = scegliendo un sistema di coordinate sferiche centrato in r ‾ \overline{r} r
= − 1 4 π ∭ Sfera ( ∇ 2 e i k r ′ r ′ + k 2 e i k r ′ r ′ ) d Ω ′ = − 1 4 π ∭ Sfera ( ∇ 2 e i k r ′ r ′ + k 2 e i k r ′ r ′ ) d Ω ′ = − 1 4 π ∭ Sfera ( ∇ ⋅ ∇ e i k r ′ r ′ + k 2 e i k r ′ r ′ ) d Ω ′ = \begin{aligned}
& \\
& =-\frac{1}{4\pi}\iiint_{\text{Sfera}}\left(\nabla^2\frac{e^{ikr'}}{r'}+k^2\frac{e^{ikr'}}{r'}\right)d\Omega' \\
& =-\frac{1}{4\pi}\iiint_{\text{Sfera}}\left(\nabla^2\frac{e^{ikr'}}{r'}+k^2\frac{e^{ikr'}}{r'}\right)d\Omega' \\
& =-\frac{1}{4\pi}\iiint_{\text{Sfera}}\left(\nabla\cdot\nabla\frac{e^{ikr'}}{r'}+k^2\frac{e^{ikr'}}{r'}\right)d\Omega'=
\end{aligned} = − 4 π 1 ∭ Sfera ( ∇ 2 r ′ e ik r ′ + k 2 r ′ e ik r ′ ) d Ω ′ = − 4 π 1 ∭ Sfera ( ∇ 2 r ′ e ik r ′ + k 2 r ′ e ik r ′ ) d Ω ′ = − 4 π 1 ∭ Sfera ( ∇ ⋅ ∇ r ′ e ik r ′ + k 2 r ′ e ik r ′ ) d Ω ′ = applicando il teorema della divergenza abbiamo
= − 1 4 π [ ∬ Sfera ∇ e i k r ′ r ′ ⋅ r ^ ′ d S ′ + ∭ Sfera ( k 2 e i k r ′ r ′ ) d Ω ′ ] =-\frac{1}{4\pi}\left[\iint_{\text{Sfera}}\nabla\frac{e^{ikr'}}{r'}\cdot{\hat{r}}'\:dS'+\iiint_{\text{Sfera}}\left(k^2\frac{e^{ikr'}}{r'}\right)d\Omega'\right] = − 4 π 1 [ ∬ Sfera ∇ r ′ e ik r ′ ⋅ r ^ ′ d S ′ + ∭ Sfera ( k 2 r ′ e ik r ′ ) d Ω ′ ] Eseguiamo prima l’integrale di superficie per una sfera di raggio R
∯ Sfera ∇ e i k r ′ r ′ ⋅ r ^ ′ d S ′ = ∯ Sfera ( i k e i k r ′ r ′ − e i k r ′ r ′ 2 ) d S ′ = 4 π R 2 ( i k e i k R R − e i k R R 2 ) = 4 π ( i k R e i k R − e i k R ) \begin{aligned}
\oiint_{\text{Sfera}}\nabla\frac{e^{ikr'}}{r'}\cdot{\hat{r}}'\:dS' & =\oiint_{\text{Sfera}}\left(ik\frac{e^{ikr'}}{r'}-\frac{e^{ikr'}}{r^{'2}}\right)dS' \\
& =4\pi R^2\left(ik\frac{e^{ikR}}{R}-\frac{e^{ikR}}{R^2}\right) \\
& =4\pi\left(ikRe^{ikR}-e^{ikR}\right)
\end{aligned} ∬ Sfera ∇ r ′ e ik r ′ ⋅ r ^ ′ d S ′ = ∬ Sfera ( ik r ′ e ik r ′ − r ′ 2 e ik r ′ ) d S ′ = 4 π R 2 ( ik R e ik R − R 2 e ik R ) = 4 π ( ik R e ik R − e ik R ) Ora eseguiamo l’integrale di volume per la stessa sfera di raggio R
∭ Sfera ( k 2 e i k r ′ r ′ ) d Ω ′ = ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 π sin ϑ d ϑ ∫ 0 R k 2 e i k r ′ r ′ r ′ 2 d r ′ = 4 π ∫ 0 R k 2 e i k r ′ r ′ d r ′ = \begin{aligned}
\iiint_{\text{Sfera}}\left(k^2\frac{e^{ikr'}}{r'}\right)d\Omega' & =\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^\pi\sin\vartheta\:d\vartheta\int_0^Rk^2\frac{e^{ikr'}}{r'}r^{'2}\:dr' \\
& =4\pi\int_0^Rk^2e^{ikr'}r'\:dr'=
\end{aligned} ∭ Sfera ( k 2 r ′ e ik r ′ ) d Ω ′ = ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 π sin ϑ d ϑ ∫ 0 R k 2 r ′ e ik r ′ r ′ 2 d r ′ = 4 π ∫ 0 R k 2 e ik r ′ r ′ d r ′ = integrando per parti abbiamo
4 π ( k 2 e i k r ′ r ′ i k ∣ 0 R − ∫ 0 R k 2 e i k r ′ i k d r ′ ) = 4 π ( − i k e i k R R + e i k R − 1 ) 4\pi\left({\frac{k^2e^{ikr'}r'}{ik}|}_0^R-\int_0^Rk^2\frac{e^{ikr'}}{ik}\:dr'\right)=4\pi\left(-ike^{ikR}R+e^{ikR}-1\right) 4 π ( ik k 2 e ik r ′ r ′ ∣ 0 R − ∫ 0 R k 2 ik e ik r ′ d r ′ ) = 4 π ( − ik e ik R R + e ik R − 1 ) Sommando i risultati dei due integrali abbiamo
− 1 4 π [ ∬ Sfera ∇ e i k r ′ r ′ ⋅ r ^ ′ d S ′ + ∭ Sfera ( k 2 e i k r ′ r ′ ) d Ω ′ ] = − 1 4 π [ 4 π ( i k R e i k R − e i k R ) + 4 π ( − i k e i k R R + e i k R − 1 ) ] = − [ i k R e i k R − e i k R − i k e i k R R + e i k R − 1 ] = 1 \begin{aligned}
& -\frac{1}{4\pi}\left[\iint_{\text{Sfera}}\nabla\frac{e^{ikr'}}{r'}\cdot{\hat{r}}'\:dS'+\iiint_{\text{Sfera}}\left(k^2\frac{e^{ikr'}}{r'}\right)d\Omega'\right] \\
& \qquad=-\frac{1}{4\pi}\left[4\pi\left(ikRe^{ikR}-e^{ikR}\right)+4\pi\left(-ike^{ikR}R+e^{ikR}-1\right)\right] \\
& \qquad=-\left[ikRe^{ikR}-e^{ikR}-ike^{ikR}R+e^{ikR}-1\right] \\
& \qquad=1
\end{aligned} − 4 π 1 [ ∬ Sfera ∇ r ′ e ik r ′ ⋅ r ^ ′ d S ′ + ∭ Sfera ( k 2 r ′ e ik r ′ ) d Ω ′ ] = − 4 π 1 [ 4 π ( ik R e ik R − e ik R ) + 4 π ( − ik e ik R R + e ik R − 1 ) ] = − [ ik R e ik R − e ik R − ik e ik R R + e ik R − 1 ] = 1 Come volevasi dimostrare.
Appendice 2. Nel testo abbiamo un integrale del tipo:
∫ 0 + ∞ sin ( α r ′ ) e − β r ′ d r ′ \int_0^{+\infty}\sin\;\left(\alpha r'\right)e^{-\beta r'}\:dr' ∫ 0 + ∞ sin ( α r ′ ) e − β r ′ d r ′ Indichiamo l’integrale con il simbolo I . Integreremo due volte per parti ottenendo così un’equazione nell’incognita I :
I = sin ( α r ′ ) e − β r ′ − β ∣ 0 + ∞ − ∫ 0 + ∞ α cos ( α r ′ ) e − β r ′ − β d r ′ = − α cos ( α r ′ ) e − β r ′ β 2 ∣ 0 + ∞ + ∫ 0 + ∞ − α 2 cos ( α r ′ ) e − β r ′ β 2 d r ′ = α β 2 − α 2 β 2 I \begin{aligned}
I & =\sin(\alpha r')\frac{e^{-\beta r'}}{-\beta}|_0^{+\infty}-\int_0^{+\infty}\alpha\cos(\alpha r')\frac{e^{-\beta r'}}{-\beta}dr' \\
& =-\alpha\cos(\alpha r')\frac{e^{-\beta r'}}{\beta^2}|_0^{+\infty}+\int_0^{+\infty}-\alpha^2\cos(\alpha r')\frac{e^{-\beta r'}}{\beta^2}dr' \\
& =\frac{\alpha}{\beta^2}-\frac{\alpha^2}{\beta^2}I
\end{aligned} I = sin ( α r ′ ) − β e − β r ′ ∣ 0 + ∞ − ∫ 0 + ∞ α cos ( α r ′ ) − β e − β r ′ d r ′ = − α cos ( α r ′ ) β 2 e − β r ′ ∣ 0 + ∞ + ∫ 0 + ∞ − α 2 cos ( α r ′ ) β 2 e − β r ′ d r ′ = β 2 α − β 2 α 2 I Dunque abbiamo l’equazione
I = α β 2 − α 2 β 2 I ⟺ ( 1 + α 2 β 2 ) I = α β 2 ⟺ β 2 + α 2 β 2 I = α β 2 ⟺ I = α β 2 + α 2 \begin{aligned}
I & =\frac{\alpha}{\beta^2}-\frac{\alpha^2}{\beta^2}I\Longleftrightarrow \\
\left(1+\frac{\alpha^2}{\beta^2}\right)I & =\frac{\alpha}{\beta^2}\Longleftrightarrow \\
\frac{\beta^2+\alpha^2}{\beta^2}I & =\frac{\alpha}{\beta^2}\Longleftrightarrow \\
I & =\frac{\alpha}{\beta^2+\alpha^2}
\end{aligned} I ( 1 + β 2 α 2 ) I β 2 β 2 + α 2 I I = β 2 α − β 2 α 2 I ⟺ = β 2 α ⟺ = β 2 α ⟺ = β 2 + α 2 α Questa è la formula applicata nel testo.