Nota 02 Torna al Cap. 02 · Stern–Gerlach in cascata
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Dimostrazione Perché l’evoluzione conserva i prodotti scalari

L’evoluzione temporale conserva i prodotti scalari, ⟨αt∣βt⟩=⟨αt0∣βt0⟩\langle\alpha t|\beta t\rangle=\langle\alpha t_0|\beta t_0\rangle. Lo ricaviamo qui in generale: bastano due dei principi della trattazione, la sovrapposizione lineare e la conservazione del totale.

Scriviamo ∣α⟩|\alpha\rangle per lo stato iniziale e ∣α′⟩|\alpha'\rangle per lo stato evoluto.

(I) Sovrapposizione lineare. L’evoluto di una sovrapposizione è la sovrapposizione degli evoluti:

∣γ⟩=a∣α⟩+b∣β⟩⟹∣γ′⟩=a∣α′⟩+b∣β′⟩|\gamma\rangle=a|\alpha\rangle+b|\beta\rangle\qquad\Longrightarrow\qquad|\gamma'\rangle=a|\alpha'\rangle+b|\beta'\rangle

(II) Conservazione del totale. Il totale di un vettore, cioè la somma dei moduli quadri delle sue componenti ⟨α∣α⟩\langle\alpha|\alpha\rangle, non cambia nell’evoluzione:

⟨α′∣α′⟩=⟨α∣α⟩\langle\alpha'|\alpha'\rangle=\langle\alpha|\alpha\rangle

per qualunque vettore.

Del prodotto scalare useremo tre proprietà: ⟨β∣α⟩=⟨α∣β⟩∗\langle\beta|\alpha\rangle=\langle\alpha|\beta\rangle^*, l’additività in entrambi i fattori, cioè ⟨α+γ∣β⟩=⟨α∣β⟩+⟨γ∣β⟩\langle\alpha+\gamma|\beta\rangle=\langle\alpha|\beta\rangle+\langle\gamma|\beta\rangle e ⟨α∣β+γ⟩=⟨α∣β⟩+⟨α∣γ⟩\langle\alpha|\beta+\gamma\rangle=\langle\alpha|\beta\rangle+\langle\alpha|\gamma\rangle, e infine ⟨α∣cβ⟩=c⟨α∣β⟩\langle\alpha|c\beta\rangle=c\langle\alpha|\beta\rangle.

C’è un apparente ostacolo: vogliamo dimostrare qualcosa sul prodotto scalare di due vettori diversi, ma la (II) parla di un vettore solo, moltiplicato per sé stesso. L’idea che scioglie il nodo è applicare la (II) non ad ∣α⟩|\alpha\rangle o a ∣β⟩|\beta\rangle, ma alla loro somma: nel totale della somma, come vedremo, i due vettori si mescolano, e compaiono proprio i prodotti scalari che cerchiamo. Poiché un prodotto scalare è un numero complesso, serviranno due informazioni: la somma ∣α⟩+∣β⟩|\alpha\rangle+|\beta\rangle darà la parte reale, la somma ∣α⟩+i∣β⟩|\alpha\rangle+i|\beta\rangle la parte immaginaria.

Passo 1 — la parte reale

Per la (I), l’evoluto di ∣α⟩+∣β⟩|\alpha\rangle+|\beta\rangle è ∣α′⟩+∣β′⟩|\alpha'\rangle+|\beta'\rangle; la (II), applicata a questo vettore somma, dà:

⟨α′+β′∣α′+β′⟩=⟨α+β∣α+β⟩\langle\alpha'+\beta'|\alpha'+\beta'\rangle=\langle\alpha+\beta|\alpha+\beta\rangle

Sviluppiamo i due membri per additività:

⟨α′∣α′⟩+⟨α′∣β′⟩+⟨β′∣α′⟩+⟨β′∣β′⟩=⟨α∣α⟩+⟨α∣β⟩+⟨β∣α⟩+⟨β∣β⟩\langle\alpha'|\alpha'\rangle+\langle\alpha'|\beta'\rangle+\langle\beta'|\alpha'\rangle+\langle\beta'|\beta'\rangle=\langle\alpha|\alpha\rangle+\langle\alpha|\beta\rangle+\langle\beta|\alpha\rangle+\langle\beta|\beta\rangle

Come annunciato, accanto ai totali dei singoli vettori sono comparsi i termini incrociati, che contengono i prodotti scalari cercati. I totali si eliminano da soli: ⟨α′∣α′⟩=⟨α∣α⟩\langle\alpha'|\alpha'\rangle=\langle\alpha|\alpha\rangle e ⟨β′∣β′⟩=⟨β∣β⟩\langle\beta'|\beta'\rangle=\langle\beta|\beta\rangle per la (II), quindi si elidono tra i due membri, e resta

⟨α′∣β′⟩+⟨β′∣α′⟩=⟨α∣β⟩+⟨β∣α⟩\langle\alpha'|\beta'\rangle+\langle\beta'|\alpha'\rangle=\langle\alpha|\beta\rangle+\langle\beta|\alpha\rangle

Poiché ⟨β∣α⟩=⟨α∣β⟩∗\langle\beta|\alpha\rangle=\langle\alpha|\beta\rangle^*, ogni membro è della forma z+z∗=2 Re⁡ zz+z^*=2\:\operatorname{Re}\:z, dunque

Re⁡ ⟨α′∣β′⟩=Re⁡ ⟨α∣β⟩(A)\operatorname{Re}\:\langle\alpha'|\beta'\rangle=\operatorname{Re}\:\langle\alpha|\beta\rangle\qquad\text{(A)}

La parte reale del prodotto scalare si conserva — e poiché non abbiamo supposto nulla su ∣α⟩|\alpha\rangle e ∣β⟩|\beta\rangle, questo vale per ogni coppia di vettori.

Passo 2 — la parte immaginaria

Resta la parte immaginaria: per estrarla, al posto di ∣β⟩|\beta\rangle usiamo i∣β⟩i|\beta\rangle. Non occorre rifare il calcolo — la (A) vale per ogni coppia di vettori, quindi vale per la coppia (∣α⟩, i∣β⟩)(|\alpha\rangle,\ i|\beta\rangle), il cui evoluto, per la (I), è (∣α′⟩, i∣β′⟩)(|\alpha'\rangle,\ i|\beta'\rangle):

Re⁡ ⟨α′∣iβ′⟩=Re⁡ ⟨α∣iβ⟩\operatorname{Re}\:\langle\alpha'|i\beta'\rangle=\operatorname{Re}\:\langle\alpha|i\beta\rangle

Per la proprietà ⟨α∣cβ⟩=c⟨α∣β⟩\langle\alpha|c\beta\rangle=c\langle\alpha|\beta\rangle portiamo ii fuori dai prodotti scalari:

Re⁡ (i⟨α′∣β′⟩)=Re⁡ (i⟨α∣β⟩)\operatorname{Re}\:(i\langle\alpha'|\beta'\rangle)=\operatorname{Re}\:(i\langle\alpha|\beta\rangle)

Per un numero complesso vale Re⁡(iz)=− Im⁡ z\operatorname{Re}(iz)=-\:\operatorname{Im}\:z; applicandolo ai due membri e cambiando segno:

Im⁡ ⟨α′∣β′⟩=Im⁡ ⟨α∣β⟩(B)\operatorname{Im}\:\langle\alpha'|\beta'\rangle=\operatorname{Im}\:\langle\alpha|\beta\rangle\qquad\text{(B)}

Conclusione

Due numeri complessi con la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria sono lo stesso numero. Da (A) e (B), dunque:

⟨α′∣β′⟩=⟨α∣β⟩⟺⟨αt∣βt⟩=⟨αt0∣βt0⟩\langle\alpha'|\beta'\rangle=\langle\alpha|\beta\rangle\qquad\Longleftrightarrow\qquad\langle\alpha t|\beta t\rangle=\langle\alpha t_0|\beta t_0\rangle

che è quanto volevamo dimostrare. ∎

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La Quantistica · Nota tecnica N.02 · Rev. 2026 F. Palma