Una scelta Perché preferiamo le matrici hermitiane?

Ricavando l’equazione di evoluzione abbiamo trovato una matrice antihermitiana, $A(t)$, e l’abbiamo subito sostituita con $H(t)=iA(t)$, che è hermitiana. La sostituzione non aggiunge e non toglie nulla al risultato: le due scritture dicono la stessa cosa. Vediamo perché preferiamo la seconda.

Reali e immaginari puri

Fra le matrici e i numeri c’è un’analogia stretta, e in essa l’operazione di aggiunto corrisponde alla coniugazione complessa. Un numero è reale quando coincide con il suo coniugato, $z^*=z$; è immaginario puro quando cambia segno, $z^*=-z$. Allo stesso modo una matrice è hermitiana quando $H^+=H$, ed è antihermitiana quando $A^+=-A$.

L’analogia prosegue: moltiplicare per $i$ porta un numero reale in un immaginario puro e viceversa, e porta una matrice hermitiana in una antihermitiana e viceversa. È il passaggio che abbiamo fatto scrivendo $H=iA$, lo stesso che avevamo già fatto passando dall’operatore derivata $D$ alla matrice $K=iD$.

Gli autovalori

La differenza si vede meglio negli autovalori. Sia $|\psi\rangle$ un autovettore di una matrice hermitiana $H$, con autovalore $a$, cioè $H|\psi\rangle=a|\psi\rangle$. Allora

dove il secondo passaggio vale per qualunque matrice e il terzo usa $H^+=H$. Poiché $\langle\psi|\psi\rangle$ non è nullo, resta $a=a^*$: l’autovalore è reale. Rifacendo lo stesso conto con una matrice antihermitiana, dove $A^+=-A$, il terzo passaggio cambia segno e si arriva a $a=-a^*$: l’autovalore è immaginario puro. Lo zero, che è reale e immaginario puro insieme, è l’unico valore che le due famiglie hanno in comune.

Perché scegliamo le hermitiane

Perché i numeri reali sono quelli con cui si esprime il risultato di una misura. Vedremo più avanti che le matrici hermitiane corrispondono a grandezze fisiche che già conosciamo — l’energia, la quantità di moto, la posizione — e che i loro autovalori sono i valori che quelle grandezze possono assumere. Non è una corrispondenza che imponiamo adesso: verrà fuori da sé, e trovarla scritta con numeri reali ci risparmierà di doverla tradurre ogni volta.

E se avessimo tenuto A?

Non sarebbe cambiato nulla di essenziale. Il percorso resterebbe lo stesso: le formule avrebbero qualche $i$ in più e qualche cambio di segno da tenere presente, ma le conclusioni sarebbero le medesime. E l’unità immaginaria non sparirebbe: qui l’abbiamo estratta subito, mettendola davanti alla matrice; se non lo avessimo fatto, l’avremmo incontrata comunque poco più avanti. È l’equazione a richiederla, non la nostra notazione.

A questo punto della trattazione le due scritture sono del tutto equivalenti: dire che $A$ è antihermitiana e dire che $H$ è hermitiana è dire la stessa cosa. Abbiamo scelto la seconda perché è quella in cui riconosceremo prima le grandezze che ci interessano.