Capitolo 4

La forma dell’equazione di evoluzione

Con la diffrazione degli elettroni abbiamo visto che all’elettrone è in qualche modo associata un’onda. Se c’è un’onda, deve esserci un’equazione che la descrive: è la domanda che si pose Schrödinger. Quell’equazione descrive l’evoluzione temporale del sistema, cioè come lo stato cambia nel tempo. In questa scheda cercheremo la forma generale dell’equazione di evoluzione.

Interpretazione probabilistica.

Un’onda associata a una particella si può immaginare in più modi. Qui assumiamo che l’onda dica la probabilità di trovare la particella in un punto dello spazio. Descriviamo poi l’onda con un numero complesso in ogni punto dello spazio. In altri campi della fisica i numeri complessi sono una comodità di calcolo per trattare le onde, per questo è naturale usarli anche per il nostro scopo di trovare l’equazione di evoluzione temporale di quella che sarà un’onda.

Secondo questa interpretazione probabilistica postuliamo che una particella materiale, dal punto di vista della Meccanica Quantistica, sia un sistema fisico sul quale è possibile effettuare misure di posizione. Quando eseguiamo una tale misura, il risultato in generale non è certo, ma è aleatorio. Quindi abbiamo una distribuzione di probabilità $p(x)$ per la variabile x. Postuliamo il principio della funzione complessa: le probabilità si ottengono come i moduli quadrati di certi numeri complessi, detti ampiezze di probabilità. Quindi abbiamo una certa funzione complessa $\psi(x)$ e la probabilità è data da $p(x)=|\psi(x)|^2$ .

La funzione $\psi(x)$ è una distribuzione di ampiezze di probabilità e caratterizza lo stato della particella, questa funzione può essere vista come un vettore di infiniti numeri complessi e la rappresenteremo con il simbolo di vettore ket $|\psi\rangle\equiv\psi(x)$ .

Quando lo stato della particella evolve la funzione ψ cambia con il tempo, quindi otteniamo una funzione che dipende dallo spazio e dal tempo $\psi(x,t)$ che possiamo rappresentare con un ket che dipende dal tempo $|\psi t\rangle$ .

Postuliamo il principio di sovrapposizione lineare: due stati si possono combinare, ciascuno con un coefficiente complesso, e la combinazione è ancora uno stato; lo stato evolve nel tempo con continuità e, nell’evoluzione, ogni termine evolve come evolverebbe da solo, con lo stesso coefficiente, e lo stato successivo è la somma dei termini evoluti. Ne segue che l’evoluzione temporale è descritta da una legge lineare $|\psi t\rangle=U\left(t_0\to t\right)|\psi t_0\rangle$ . Dove $|\psi t_0\rangle$ è il vettore associato alla funzione $\psi(x,t_0)$ rappresentativa dello stato iniziale; $|\psi t\rangle$ è il vettore associato alla funzione $\psi(x,t)$ rappresentativa dello stato all’istante t; e $U\left(t_0\to t\right)$ è una matrice di ∞×∞ elementi, che dipende dal sistema e dalle condizioni “ambientali”.

A questo punto si pone il problema di determinare la matrice di evoluzione temporale $U\left(t_0\to t\right)$ . Risolveremo questo problema più avanti, per ora vogliamo anticipare il seguente risultato qualitativo: l’equazione finale che otterremo assomiglierà molto all’equazione delle onde, e le soluzioni $\psi(x,t)$ avranno l’aspetto di pacchetti d’onda. Quindi l’onda che accompagna una particella materiale, di cui parlavamo nel paragrafo precedente, non è altro che il vettore delle ampiezze di probabilità $\psi(x,t)$ associato alla variabile posizione.

Per chiarezza ricapitoliamo i punti importanti che abbiamo introdotto:

Una particella materiale è caratterizzata dalla variabile posizione, cioè da una coordinata che indicheremo brevemente con il simbolo x.

Lo stato di una particella materiale in un istante t è rappresentato dalla distribuzione di ampiezze di probabilità $\psi(x,t)$ della variabile x, che indicheremo con il simbolo di ket $|\psi t\rangle$ .

L’evoluzione dello stato è descritta dalla seguente equazione:

|\psi t\rangle=U(t_0\to t)|\psi t_0\rangle

dove $U\left(t_0\to t\right)$ è una matrice di ∞×∞ componenti.

Equazione di evoluzione temporale in forma differenziale.

L’equazione di evoluzione temporale che abbiamo scritto consente di fare un salto finito tra gli istanti t₀ e t. Tuttavia è più comodo considerare un salto temporale infinitesimo $t\to t+dt$ . In questo caso abbiamo l’equazione

|\psi(t+dt)\rangle=U(t\to t+dt)|\psi t\rangle

sottraendo ad ambo i membri $|\psi t\rangle$ e dividendo per dt otteniamo

\begin{aligned} \frac{|\psi(t+dt)\rangle-|\psi t\rangle}{dt} & =\frac{U(t\to t+dt)|\psi t\rangle-|\psi t\rangle}{dt}\Leftrightarrow \\ \frac{d}{dt}|\psi t\rangle & =\frac{U(t\to t+dt)-1}{dt}|\psi t\rangle \end{aligned}

Per semplificare il secondo membro possiamo scrivere la matrice $U\left(t_0\to t\right)$ con un’approssimazione del primo ordine

U(t\to t+dt)=\underbrace{U(t\to t)}_{\text{Termine per }dt=0}+\underbrace{A(t)\cdot dt}_{\text{Incremento del primo ordine}}+\underbrace{o(dt^2)}_{\text{Infinitesimo di ordine superiore}}

dove $A(t)$ è la derivata

\lim_{dt\to0}\frac{U(t\to t+dt)-U(t\to t)}{dt}

Sostituendo questa approssimazione del primo ordine abbiamo

\begin{aligned} \frac{U(t\to t+dt)-1}{dt} & =\frac{U(t\to t)+A(t)dt+o(dt^2)-1}{dt} \\ & \quad\text{osservando che }U(t\to t)=1\text{ abbiamo} \\ & =\frac{A(t)dt+o(dt^2)}{dt} \\ & =A(t) \end{aligned}

Quindi in definitiva otteniamo l’equazione

\frac{d}{dt}|\psi t\rangle=A(t)|\psi t\rangle

Il problema di determinare $U\left(t_0\to t\right)$ si è trasformato nel problema di determinare la derivata $A(t)$ .

Prima di procedere è necessario soffermarci su alcuni argomenti di carattere matematico.

Algebra degli operatori.

Vettori e matrici a dimensione infinita

In questa scheda abbiamo introdotto vettori e matrici a dimensione infinita. Nei casi a dimensione finita un vettore viene rappresentato da una n-upla di componenti $|v\rangle=\left(v_1\dots v_n\right)$ , nei casi a dimensione infinita, invece, possiamo rappresentare un vettore con una funzione $|v\rangle=v(x)$ dove la variabile x assume il ruolo degli indici. Analogamente una matrice a dimensione infinita si rappresenta con una funzione di due variabili $A=A(x,x')$ .

Il prodotto tra una matrice e un vettore, ad esempio, si può scrivere mediante un integrale

\begin{aligned} |u\rangle & =A|v\rangle\Leftrightarrow \\ u(x) & =\int_{-\infty}^{+\infty}A(x,x')v(x')\:dx' \end{aligned}

In modo analogo si possono scrivere altri tipi di prodotti tra matrici o tra vettori.

Matrice aggiunta e matrici hermitiane, antihermitiane e unitarie.

Supponiamo di avere un vettore ket $|u\rangle$ dato dal prodotto tra una matrice A e un altro vettore $|v\rangle$

|u\rangle=A|v\rangle

e supponiamo di dover determinare il bra coniugato $\langle u|$ . Consideriamo ad esempio il caso a dimensione due

\begin{aligned} |u\rangle & =\left(\begin{gathered} u_1 \\ u_2 \end{gathered}\right)\Rightarrow \\ \langle u| & =(u_1^*,u_2^*) \\ & ={\left(\begin{gathered} u_1 \\ u_2 \end{gathered}\right)}^{*t} \\ & ={|u\rangle}^{*t} \end{aligned}

Dunque il bra $\langle u|$ si ottiene coniugando $({}^*)$ e trasponendo $({}^t)$ il ket $|u\rangle$

\begin{aligned} \langle u| & =|u\rangle^{*t} \\ & ={\left(A|v\rangle\right)}^{*t} \\ & =|v\rangle^{*t}A^{*t} \\ & =\langle v|A^{*t} \end{aligned}

In definitiva possiamo scrivere

|u\rangle=A|v\rangle\Leftrightarrow\langle u|=\langle v|A^{*t}

dove la matrice $A^{*t}$ si ottiene coniugando e trasponendo la matrice A.

Per definizione diremo che la matrice $A^{*t}$ è l’aggiunta della matrice A, e la indicheremo con il simbolo $A^+$

A^{*t}\equiv A^+

Ad esempio, per una matrice a dimensione due

\begin{aligned} A & =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\Rightarrow \\ A^+ & =A^{*t} \\ & =\begin{pmatrix} a_{11}^* & a_{21}^* \\ a_{12}^* & a_{22}^* \end{pmatrix} \end{aligned}

In base a questa definizione possiamo scrivere che il bra coniugato del ket $A|u\rangle$ è $\langle u|A^+$ .

Per definizione se una matrice è uguale alla sua aggiunta $A=A^+$ , allora si dice che è hermitiana, se invece la matrice è uguale alla sua aggiunta cambiata di segno $A=-A^+$ , allora si dice che è antihermitiana. Una matrice tale che $AA^+=A^+A=I$ , dove I è la matrice identità, si dice che è unitaria.

L’operazione di prendere la matrice aggiunta nel campo delle matrici assume il ruolo dell’operazione di prendere il complesso coniugato nel campo dei numeri complessi. Quindi le matrici hermitiane assumono il ruolo dei numeri reali puri, mentre le matrici antihermitiane assumono il ruolo dei numeri immaginari puri. Le matrici unitarie, infine, assumono il ruolo dei numeri a modulo unitario.

Le matrici hermitiane, le antihermitiane e le unitarie hanno delle proprietà molto interessanti che studieremo più avanti, e hanno una notevole importanza in Meccanica Quantistica.

Rapporto tra matrici e operatori.

Nel caso di vettori a dimensione finita sappiamo, dagli studi di algebra lineare, che un qualunque operatore lineare $|v\rangle\overset{R\;}{\to}|w\rangle$ può essere scritto come un prodotto matriciale $|w\rangle=R|v\rangle$ , dove R è una particolare matrice associata all’operatore in questione.

Questa proprietà resta valida anche nel caso di vettori a dimensione infinita, ma è molto più delicata dal punto di vista matematico.

Consideriamo ad esempio l’operatore derivata che indicheremo con D. L’operatore D trasforma un vettore $|v\rangle$ associato alla funzione $v(x)$ nel vettore $D|v\rangle$ associato alla funzione $dv(x)/dx$

v(x)\xrightarrow{\ D\ }\frac{d}{dx}v(x)

Ci chiediamo: qual è la matrice, cioè la funzione di due variabili, che rappresenta l’operatore derivata? La funzione che cerchiamo è la derivata della δ di Dirac

-\frac{d}{dx'}\delta(x'-x)

Nota 05 Che cos’è la δ di Dirac e che cosa significa la sua derivata: il richiamo →

infatti, eseguendo il prodotto matriciale e integrando per parti, abbiamo

\int_{-\infty}^{+\infty}-\frac{d\delta(x'-x)}{dx'}v(x')\:dx'=-\delta(x'-x)v(x')\Big|_{-\infty}^{+\infty}+\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x'-x)\frac{dv(x')}{dx'}\:dx'

Il termine di bordo si annulla perché la δ è nulla all’infinito; nell’integrale che resta la δ seleziona il valore della derivata nel punto x:

\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x'-x)\frac{dv(x')}{dx'}\:dx'=\frac{dv(x)}{dx}

L’operatore $D\leftrightarrow-d\delta(x'-x)/dx'$ è antihermitiano, infatti

\begin{aligned} {\left(-\frac{d\delta(x'-x)}{dx'}\right)}^{*t} & ={\left(-\frac{d\delta(x'-x)}{dx'}\right)}^\dagger \\ & =-\frac{d\delta(x-x')}{dx} \\ & =\frac{d\delta(x'-x)}{dx'} \end{aligned}

cioè coniugando e trasponendo la matrice associata a D si ottiene una matrice di segno opposto $D^+=-D$ .

In genere si preferisce usare l’operatore $K=iD$ che è hermitiano, infatti

K^+=(iD)^+=i^*D^+=(-i)(-D)=iD=K

D’ora in avanti parleremo indifferentemente di operatori oppure di matrici. Un operatore derivata in genere sarà rappresentato dall’operazione di derivata piuttosto che dalla matrice associata, comunque è importante sapere che a un qualsiasi operatore lineare è sempre associata una determinata matrice, sia essa a dimensione finita o infinita.

Funzioni di operatori o funzioni di matrici.

Se prendiamo un operatore A e lo applichiamo due volte otteniamo l’operatore $AA=A^2$ , allo stesso modo possiamo ottenere $A^3$ , $A^4$ ecc.

Se prendiamo l’operatore inverso $A^{-1}$ e lo applichiamo due volte definiamo l’operatore $A^{-1}A^{-1}=A^{-2}$ , allo stesso modo otteniamo $A^{-3}$ , $A^{-4}$ ecc.

Se consideriamo un polinomio

p(x)=c_nx^n+\dots+c_1x+c_0+c_{-1}x^{-1}+\dots+c_{-m}x^{-m}

da esso possiamo costruire l’operatore

p(A)=c_nA^n+\dots+c_1A+c_0I+c_{-1}A^{-1}+\dots+c_{-m}A^{-m}

In generale da una funzione $f(x)$ sviluppabile in serie di potenze

f(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_nx^n

possiamo costruire l’operatore $f(A)$

f(A)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_nA^n

(si pone $A^0=I$ dove I è l’operatore identità)

Ritorniamo ora allo studio dell’equazione di evoluzione temporale.

Conservazione del prodotto scalare.

Postuliamo infine il principio di conservazione del totale: finché il sistema non viene osservato, la somma dei moduli quadrati su tutte le posizioni non cambia durante l’evoluzione. Da questo principio, insieme alla linearità, discende un’importante proprietà del processo di evoluzione temporale: durante questo processo i prodotti scalari tra diversi ket si mantengono costanti. Ora vedremo cosa comporta questo fatto per la matrice A che compare nell’equazione

Nota 02 Come questa proprietà discende dai principi: la dimostrazione →

\frac{d}{dt}|\psi t\rangle=A(t)|\psi t\rangle

Consideriamo due ket $|\alpha t\rangle$ e $|\beta t\rangle$ , calcoliamo l’evoluzione di questi ket nell’istante $t+dt$

\begin{aligned} |\alpha(t+dt)\rangle & =|\alpha t\rangle+\frac{d}{dt}|\alpha t\rangle dt+o(dt^2) \\ & =(1+A(t)dt)|\alpha t\rangle+o(dt^2) \end{aligned}

\begin{aligned} |\beta(t+dt)\rangle & =|\beta t\rangle+\frac{d}{dt}|\beta t\rangle dt+o(dt^2) \\ & =(1+A(t)dt)|\beta t\rangle+o(dt^2) \end{aligned}

In base alla proprietà di conservazione del prodotto scalare, deve essere

\langle\alpha(t+dt)|\beta(t+dt)\rangle=\langle\alpha t|\beta t\rangle

sostituendo le formule trovate per $|\alpha(t+dt)\rangle$ e $|\beta(t+dt)\rangle$ abbiamo

\begin{aligned} \langle\alpha t|(1+A^+(t)dt)(1+A(t)dt)|\beta t\rangle+o(dt^2) & =\langle\alpha t|\beta t\rangle\Leftrightarrow \\ \langle\alpha t|\beta t\rangle+\langle\alpha t|(A^+(t)+A(t))dt|\beta t\rangle+\langle\alpha t|A^+(t)dt^2A(t)|\beta t\rangle+o(dt^2) & =\langle\alpha t|\beta t\rangle\Leftrightarrow \\ \langle\alpha t|(A^+(t)+A(t))dt|\beta t\rangle+\langle\alpha t|A^+(t)dt^2A(t)|\beta t\rangle+o(dt^2) & =0 \end{aligned}

dividendo per dt e prendendo il limite per dt→0 abbiamo

\langle\alpha t|\left(A^+(t)+A(t)\right)|\beta t\rangle=0

Questa equazione è valida per ogni $|\alpha t\rangle$ e $|\beta t\rangle$ , quindi deve essere

\begin{aligned} A^+(t)+A(t) & =0\Leftrightarrow \\ A^+(t) & =-A(t) \end{aligned}

Dunque la matrice A è antihermitiana. Sostituiamo la matrice A con la matrice $H\left(t\right)=iA\left(t\right)$ , dove $i$ è l’unità complessa.

La matrice H è detta hamiltoniana ed è hermitiana, infatti

H^+={\left(iA\right)}^+=i^*A^+=(-i)(-A)=iA=H

L’equazione di evoluzione scritta in termini della matrice H appare così

i\frac{d}{dt}|\psi t\rangle=H(t)|\psi t\rangle

Quest’equazione viene chiamata equazione di Schrödinger.

Nota 08 Perché abbiamo preferito la matrice hermitiana H all’antihermitiana A, e che cosa sarebbe cambiato tenendo A: la scelta →