Capitolo 2

Diffrazione degli Elettroni

In questa scheda descriveremo un esperimento nel quale l’elettrone mostra delle proprietà molto diverse da quelle che dovrebbe avere una normale particella classica. Vedremo che un fascio di elettroni “sparati” da un cannone elettronico non sempre si comporta come un fascio di particelle, infatti in questo esperimento si comporterà come un’onda.

Descrizione dell’esperimento e previsioni classiche.

La figura 1 mostra uno schema di principio dell’esperimento. Abbiamo un fascio di elettroni che incide contro una sottile lamina di materiale cristallino; gli elettroni che attraversano la lamina vengono rilevati su uno schermo ai fosfori.

La struttura di un cristallo verrà studiata più avanti, nella scheda sull’esperimento di Rutherford. Vedremo che un cristallo è costituito da un aggregato di nuclei atomici disposti secondo un reticolo tridimensionale (Fig. 2), con una geometria più o meno complicata. Vedremo inoltre che la distanza tra due nuclei adiacenti è molto maggiore del diametro del nucleo.

Da un punto di vista classico ci aspettiamo che un elettrone, quando attraversa un cristallo, venga deflesso in un certo angolo e in una certa direzione che dipendono dal moto iniziale dell’elettrone e dall’orientazione del cristallo (Fig.3). Un fascio è formato da parecchi elettroni ognuno con condizioni dinamiche leggermente differenti dagli altri. Quindi, al di là del cristallo, avremo una dispersione del fascio dovuta al fatto che non tutti gli elettroni saranno deflessi sotto lo stesso angolo.

L’angolo di deflessione δ è una variabile aleatoria, cioè è una grandezza che può assumere diversi valori, ognuno con una certa probabilità. La distribuzione di probabilità per la variabile δ può essere calcolata in base al modello corpuscolare dell’elettrone, e in base a questo modello ci aspettiamo una curva a campana come quella mostrata in figura 4. Ma, come vedremo, la distribuzione di elettroni effettivamente rilevata sullo schermo non corrisponde a questa previsione classica.

Descrizione dell’apparato sperimentale.

Il cannone elettronico, la lamina di materiale cristallino e lo schermo ai fosfori sono montati all’interno di un’ampolla di vetro sotto vuoto.

La figura 5 mostra una foto di quest’ampolla, mentre le figure 6 e 7 mostrano in dettaglio il cannone elettronico.

Uno schema è rappresentato in figura 8.

Come si vede dalla foto di figura 6 e dallo schema di figura 8, la lamina di cristallo è disposta direttamente sullo stadio finale del cannone elettronico.

Il sistema si alimenta come mostrato in figura 9.

Gli alimentatori utilizzati sono due, uno per l’alta tensione di 0÷5000 V e uno per le basse tensioni di 6 V e di 0÷50 V. La foto in figura 10 mostra l’intero sistema alimentato. A sinistra c’è l’alimentatore ad alta tensione, e a destra l’alimentatore per le basse tensioni. L’ampolla è montata su un supporto universale.

Risultati sperimentali.

La foto di figura 11 mostra in dettaglio l’immagine ottenuta sullo schermo.

Si osservano un punto centrale e due cerchi concentrici. La distribuzione di probabilità per la variabile δ che si deduce da quest’immagine è quella riportata in figura 12.

Se variamo la tensione di accelerazione si osserva che variano i raggi dei due cerchi, cioè variano gli angoli di deflessione δ₁ e δ₂.

Sono state effettuate le seguenti misure:

La figura 13 riporta due grafici delle misure effettuate, uno con la tensione V in ordinata, l’altro con l’inverso della radice della tensione $V^{-1/2}$. Dal secondo grafico si può osservare che gli angoli δ₁ e δ₂ sono direttamente proporzionali all’inverso della radice quadrata della tensione: $\delta_1=k_1V^{-1/2}$ e $\delta_2=k_2V^{-1/2}$.

Interpretazione dei risultati.

La figura ottenuta sullo schermo non può essere spiegata se si pensa che il cannone elettronico spari un fascio di particelle materiali classiche. Si può spiegare, invece, se si pensa che il cannone generi un’onda simile a quella generata da un LASER, ma non elettromagnetica. Infatti, secondo quest’idea, l’immagine formata sullo schermo può essere interpretata come una figura di diffrazione prodotta dal reticolo cristallino della grafite che è contenuta nella lamina posta davanti al fascio.

La grafite ha una struttura cristallina piana rappresentata nella figura 14. All’interno di questo reticolo si possono individuare diversi sottoreticoli a linee parallele equidistanziate (Fig. 15). La diffrazione dovuta al reticolo originale è approssimativamente pari alla sovrapposizione delle diffrazioni prodotte dai singoli reticoli a linee parallele equidistanziate (Fig. 16).

Nel cristallo si individuano due tipi di reticolo a linee parallele, uno con distanza $d_1=0{,}213nm$, e l’altro con distanza $d_2=0{,}123nm$. Quindi, quando il fascio attraversa il reticolo, abbiamo due angoli di diffrazione del primo ordine: $\delta_1$ corrispondente a $d_1$ e $\delta_2$ corrispondente a $d_2$.

I cerchi della figura 11 si formano perché la lamina è formata da tanti cristalli orientati a caso:

Ogni singolo cristallo forma un’immagine costituita da alcuni punti (Fig. 17):

La sovrapposizione di tante immagini ruotate di un angolo casuale forma i cerchi (Fig. 18):

Il fatto che gli angoli di diffrazione del primo ordine dipendano dalla tensione di accelerazione applicata vuol dire che la lunghezza d’onda del fascio dipende dalla tensione.

Dualismo onda particella e relazione di De Broglie.

Il cannone elettronico spara una raffica di particelle oppure genera un fascio di onde? L’esperimento descritto in questa scheda ci porta a pensare che si tratti di un fascio di onde, ma altri esperimenti ci portano all’altra risposta. Il risultato è che nessuna delle due ipotesi è realmente corretta: l’elettrone non è né un’onda né una particella.

L’elettrone ha un comportamento corpuscolare, nel senso che quando interagisce con altri sistemi provoca degli effetti discreti, a pacchetti. Ad esempio nell’esperimento di Millikan si osservavano gli effetti di un singolo elettrone o di pochi elettroni alla volta, infatti si osservava una carica discreta, a pacchetti. Esistono anche altri esperimenti che mostrano la natura corpuscolare dell’elettrone ma li descriveremo più avanti.

L’elettrone ha anche un comportamento ondulatorio, perché può produrre diffrazione. È anche possibile mostrare l’interferenza degli elettroni, simile a quella generata dalla luce con due fenditure, ma l’apparato sperimentale che serve per osservare questo fenomeno comprende un microscopio elettronico, ed è piuttosto difficile trovare un laboratorio didattico fornito di un tale sistema.

Si conclude che quando pensiamo a un elettrone dovremmo immaginare una particella materiale accompagnata da un’onda, oppure un’onda accompagnata da una particella. Come si è detto, non è né l’uno né l’altro; per ora concentriamoci su quella che dovrebbe essere l’onda. La lunghezza d’onda è data da una formula trovata da De Broglie: $p\lambda=h$, dove p è la quantità di moto della particella, λ è la lunghezza d’onda e h è la costante di Planck. Questa formula può essere confermata con il nostro esperimento e ha una validità molto generale, nel senso che vale per tutti i tipi di particelle, vale per gli elettroni, per i nuclei atomici, per le particelle di luce e così via. Nella seguente tabella sono riportate le misure sperimentali che abbiamo effettuato, si sono inoltre riportate la lunghezza d’onda $\lambda=d\sin\delta$, calcolata in base alla formula della diffrazione $\sin\delta=\lambda/d$, e la quantità di moto $p=\sqrt{2mqV}$, calcolata in base all’equazione dell’energia $p^2/2m=qV$. Nell’ultima colonna si è riportato il prodotto $p\lambda$ che come si vede è praticamente costante.

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