Capitolo 2

Esperimenti di Stern-Gerlach in cascata

In questa scheda descriveremo una serie di esperimenti realizzati disponendo più macchine di Stern-Gerlach in cascata. I risultati di questi esperimenti ci porteranno a introdurre le caratteristiche fondamentali della Meccanica Quantistica, e, nella parte finale, daremo una prima formulazione semplificata di questa teoria.

Esperimento numero 1.

(Vedi fig.1) Abbiamo due macchine di Stern-Gerlach in fila, una ha l’asse magnetico verticale, l’altra è inclinata rispetto alla verticale di un angolo ϑ.

Due macchine di Stern-Gerlach in cascata. — **Fig. 1** — due macchine di Stern-Gerlach in fila, la seconda inclinata di un angolo ϑ.

La prima macchina divide il fascio atomico in due parti, scriveremo che una parte ha momento magnetico m₀=+k e l’altra m₀=-k. Il pedice zero nel simbolo m₀ rappresenta l’angolo di inclinazione della macchina, ad esempio se l’angolo è di 45° scriveremo m₄₅. Il simbolo k rappresenta il valore assoluto del momento magnetico misurato che, come abbiamo visto nella scheda precedente è sempre uguale in ogni esperimento.

La figura 2 mostra uno schema che rappresenta la disposizione delle macchine e il percorso degli atomi. All’uscita della prima macchina viene bloccato il fascio con m₀=-k e viene lasciato passare solo il fascio con m₀=+k, diremo quindi che la prima macchina seleziona atomi con m₀=+k.

Schema della disposizione delle macchine. — **Fig. 2** — schema della disposizione delle macchine e del percorso degli atomi.

Il fascio con m₀=+k, viene fatto passare nella seconda macchina e qui si divide di nuovo in due parti, m_ϑ=+k e m_ϑ=-k. Le due frazioni in generale non sono uguali e si vede sperimentalmente che sono proporzionali ai termini $\cos^2\frac{\vartheta}{2}$ e $\sin^2\frac{\vartheta}{2}$ .

Seconda macchina verticale. — **Fig. 3** — seconda macchina verticale (ϑ=0°).

Seconda macchina a novanta gradi. — **Fig. 4** — seconda macchina a novanta gradi (ϑ=90°).

Ad esempio se anche la seconda macchina è disposta verticalmente (fig.3 ϑ=0°) allora abbiamo che i fasci m_ϑ=+k e m_ϑ=-k hanno intensità proporzionali ai termini 1 e 0, cioè il fascio m_ϑ=+k ha tutta l’intensità e il fascio m_ϑ=-k ha intensità zero. Se invece la seconda macchina è disposta a novanta gradi (fig.4 ϑ=90°) allora i fasci m₉₀=+k e m₉₀=-k hanno intensità proporzionali ai termini ½ e ½, cioè sono uguali.

E’ interessante osservare che già questi primi risultati non si possono spiegare mediante i concetti della meccanica classica.

Se ruotiamo anche la prima macchina (fig.5) osserviamo che i risultati non cambiano sostanzialmente e, come era facile immaginare, i due fasci uscenti hanno intensità proporzionali ai termini $\cos^2\frac{\vartheta_2-\vartheta_1}{2}$ e $\sin^2\frac{\vartheta_2-\vartheta_1}{2}$ .

Entrambe le macchine inclinate. — **Fig. 5** — entrambe le macchine inclinate, di angoli ϑ₁ e ϑ₂.

Questo vuol dire che ciò che conta è solo l’inclinazione relativa tra le due macchine e non l’inclinazione assoluta rispetto al filo a piombo.

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Esperimento numero 2.

Tre macchine di Stern-Gerlach in cascata. — **Fig. 6** — tre macchine di Stern-Gerlach in cascata.

(Vedi fig.6) Abbiamo tre macchine. Consideriamo il fascio uscente dalla macchina due, questo fascio viene diviso dalla macchina tre in due parti di intensità proporzionali ai termini $\cos^2\frac{\vartheta_3-\vartheta_2}{2}$ e $\sin^2\frac{\vartheta_3-\vartheta_2}{2}$ . Se si varia l’inclinazione della prima macchina osserviamo che varia l’intensità del fascio uscente dalla seconda macchina, ma non varia il modo in cui la terza macchina divide questo fascio, cioè non variano i rapporti tra le intensità dei fasci uscenti e l’intensità del fascio entrante alla terza macchina. Questo esperimento ci porta a concludere che gli atomi che escono dalla macchina due si trovano in uno stato fisico che è indipendente dall’orientamento della macchina uno. Indicheremo questo stato fisico dicendo che gli atomi si trovano nello stato m_ϑ2=+k.

▶Prova il simulatore interattivo · Esperimento 2→

Interpretazione probabilistica dei risultati.

In questo paragrafo daremo una possibile interpretazione di queste prime esperienza che abbiamo descritto.

Schema del primo esperimento. — Il primo esperimento, riportato qui per comodità (cfr. Fig. 2).

Consideriamo il primo esperimento. Possiamo pensare che la macchina uno dispone gli atomi in un particolare stato fisico, che indicheremo con m₀=+k. Se si esegue una misura di m₀ su questi atomi, orientando la macchina due verticalmente, si ottiene con certezza il valore m₀=+k. Se invece si esegue una misura di m_ϑ (con ϑ≠0) inclinando la macchina, si ottiene che ogni singolo atomo ha una probabilità $\cos^2\frac{\vartheta}{2}$ di dare m_ϑ=+k, e una probabilità $\sin^2\frac{\vartheta}{2}$ di dare m_ϑ=-k.

In altre parole la nostra interpretazione suona così:

se, su un atomo che si trova nello stato m₀=+k, si misura la grandezza m_ϑ (proiezione del momento magnetico nella direzione ϑ) si hanno due possibili risultati: m_ϑ=+k, con probabilità $\cos^2\frac{\vartheta}{2}$ e m_ϑ=-k con probabilità $\sin^2\frac{\vartheta}{2}$ .

Secondo questa interpretazione il fascio uscente dalla prima macchina non è composto da una frazione di atomi con m_ϑ=+k e un’altra con m_ϑ=-k, ma si tratta di atomi che si trovano tutti nello stato m₀=+k e ogni uno di loro, quando viene misurato m_ϑ, ha una certa probabilità di dare m_ϑ=+k e un’altra di dare m_ϑ=-k.

Questo modo di vedere le cose, forse non è l’unico possibile, ma è sicuramente molto difficile immaginare un’altra visione che sia coerente con tutti i fatti che abbiamo descritto e che descriveremo.

A questo punto siamo arrivati a delineare una prima importante caratteristica della Meccanica Quantistica, quella legata alla probabilità. Quando si esegue una misura su un sistema fisico sono possibili diversi risultati, nel nostro caso due, ma possono essere anche di più o anche infiniti. Ogni possibile risultato ha una certa probabilità di verificarsi e la Meccanica Quantistica ci permetterà di calcolare queste probabilità.

Sovrapposizione degli stati.

Ricombinazione di due fasci. — **Fig. 7** — ricombinazione di due fasci separati da una prima macchina.

La figura 7 mostra che con due macchine di Stern-Gerlach è possibile sovrapporre due fasci che sono stati precedentemente separati da una prima macchina. Gli esperimenti di questo paragrafo si basano sulla sovrapposizione di due fasci.

Esperimento numero 3.

(Vedi fig.8) La prima macchina dispone gli atomi nello stato m₀=+k, la seconda divide il fascio in due parti che hanno m₉₀=+k e m₉₀=-k, le ultime due ricongiungono il fascio.

Apparato dell'esperimento 3. — **Fig. 8** — apparato dell’esperimento 3: scomposizione e ricombinazione del fascio.

Si eseguono tre misure di m₀ (fig.9).

I tre casi di misura. — **Fig. 9** — i tre casi di misura di m₀.

Nel caso 1 misuriamo m₀ su atomi nello stato m₉₀=+k, quindi abbiamo le due possibilità m₀=+k e m₀=-k con probabilità 0,5 e 0,5.

Nel caso 2 misuriamo m₀ su atomi nello stato m₉₀=-k abbiamo ancora le due possibilità m₀=+k con probabilità 0,5 e m₀=-k con probabilità 0,5.

Nel caso 3 misuriamo m₀ su atomi che si trovano in uno stato che è sovrapposizione degli stati m₉₀=+k e m₉₀=-k. Il risultato è che si hanno le due possibilità m₀=+k con probabilità 1 e m₀=-k con probabilità 0 zero, esattamente come se non ci fosse stata la scomposizione e la ricombinazione.

Riassumendo abbiamo:

\begin{array}{ccc} \text{caso 1}\to\left\{\begin{array}{cc} m_0=+k & \text{con probabilità }0{,}5 \\ m_0=-k & \text{con probabilità }0{,}5 \end{array}\right. \\ \text{caso 2}\to\left\{\begin{array}{cc} m_0=+k & \text{con probabilità }0{,}5 \\ m_0=-k & \text{con probabilità }0{,}5 \end{array}\right. \\ \text{caso 3}\to\left\{\begin{array}{cc} m_0=+k & \text{con probabilità }1 \\ m_0=-k & \text{con probabilità }0 \end{array}\right. \end{array}

La cosa da osservare è che sovrapponendo due stati che hanno probabilità 0,5 di dare m₀=-k si ottiene uno stato che ha probabilità nulla di avere m₀=-k,

0,5+0,5=0!

Quindi sovrapponendo gli stati le probabilità non si sommano. Ci chiediamo se c’è qualche altra entità matematica legata agli stati fisici che, quando si sovrappongono gli stati, si componga secondo una legge semplice, magari una legge di somma.

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Esperimento numero 4.

Apparato dell'esperimento 4. — **Fig. 10** — apparato dell’esperimento 4: un fascio percorre un cammino più lungo.

(Vedi fig.10) Questo esperimento è quasi identico al precedente, con l’unica differenza che il fascio con m₉₀=-k percorre un cammino più lungo del fascio con m₉₀=+k. Questo può essere realizzato con il sistema rappresentato schematicamente nella figura 11. Il fascio inferiore passa in una zona dove il gradiente di campo è più intenso, quindi curva di più e percorre un cammino più lungo.

I due cammini con sfasamento. — **Fig. 11** — schema dei due cammini con lo sfasamento ∆.

Vediamo quali sono i risultati al variare dello sfasamento ∆ tra i due cammini.

Se lo sfasamento è nullo in uscita abbiamo lo stato m₀=+k esattamente come nell’esperimento precedente, ma se lo sfasamento è diverso da zero abbiamo uno stato diverso. Se ∆ diviene pari a una certa lunghezza caratteristica λ, in uscita abbiamo di nuovo m₀=+k, anche se ∆ è multiplo di λ, ∆=2λ,3λ, ecc. abbiamo ancora lo stato m₀=+k. Se ∆ è pari a λ/2 in uscita abbiamo lo stato m₀=-k!

In generale per le probabilità abbiamo le seguenti formule:

\begin{aligned} P_{m_0=+k} & =\cos^2\frac{\varphi}{2} \\ P_{m_0=-k} & =\sin^2\frac{\varphi}{2} \end{aligned}

dove abbiamo introdotto la variabile φ=2π∆/λ.

Ora facciamo i seguenti calcoli matematici. Prendiamo due numeri nel campo complesso, ad esempio due volte il numero uno, 1 e 1, rappresentiamoli vettorialmente.

Ora sfasiamo il secondo numero moltiplicandolo per il fasore e^iφ, abbiamo la coppia 1 e e^iφ.

Sommiamo il risultato così ottenuto e prendiamone il modulo quadrato. Otteniamo il risultato:

${\left|1+e^{i\varphi}\right|}^2={\left(2\cos\frac{\varphi}{2}\right)}^2=4\cos^2\frac{\varphi}{2}$

Ora ripetiamo il tutto partendo dai due numeri 1 e –1.

Sfasiamo il secondo numero di φ ottenendo 1 e -e^iφ.

Sommiamo e prendiamone il modulo quadrato. Otteniamo il risultato:

$|1-e^{i\varphi}|^2={\left(2\sin\frac{\varphi}{2}\right)}^2=4\sin^2\frac{\varphi}{2}$

A questo punto sembra abbastanza chiaro che le probabilità ottenute sperimentalmente si possono vedere come il quadrato della somma di due numeri complessi. Il fattore 4 presente nei risultati non conta perché si può eliminare normalizzando la distribuzione di probabilità.

Ora possiamo organizzare le idee nel seguente modo.

Allo stato con m₉₀=+k associamo due numeri complessi, il numero 1 che prendiamo dal primo calcolo e un altro numero 1 che prendiamo dal secondo calcolo. Allo stato m₉₀=-k associamo il secondo numero 1 del primo calcolo e il numero –1 del secondo calcolo.

\begin{aligned} \text{stato } m_{90}=+k & \rightarrow \left(\begin{gathered} 1 \\ 1 \end{gathered}\right) \\ \text{stato } m_{90}=-k & \rightarrow \left(\begin{gathered} 1 \\ -1 \end{gathered}\right) \end{aligned}

quando sfasiamo lo stato m₉₀=-k moltiplichiamo i suoi due numeri per e^iφ

e^{i\varphi}\left(\begin{gathered} 1 \\ -1 \end{gathered}\right)=\left(\begin{gathered} e^{i\varphi} \\ -e^{i\varphi} \end{gathered}\right)

quando sovrapponiamo gli stati, sommiamo le corrispondenti coppie di numeri e lo stato risultante è rappresentato dalla somma

\left(\begin{gathered} 1 \\ 1 \end{gathered}\right)+\left(\begin{gathered} e^{i\varphi} \\ -e^{i\varphi} \end{gathered}\right)=\left(\begin{gathered} 1+e^{i\varphi} \\ 1-e^{i\varphi} \end{gathered}\right)

I moduli quadrati dei numeri trovati danno la distribuzione di probabilità di ottenere i valori m₀=+k e m₀=-k quando si esegue una misura di m₀..

Questi numeri si riferiscono a una particolare grandezza fisica del sistema, nel nostro caso m₀. Ogni singolo numero complesso è associato a uno dei possibili valori che può assumere la grandezza fisica e il modulo quadrato di questi numeri dà la probabilità che, eseguendo la misura, si ottenga il valore associato.

Osserviamo che le coppie di numeri complessi che rappresentano lo stato del nostro sistema costituiscono uno spazio vettoriale, perché possono essere sommate e possono essere moltiplicate per un numero.

Gli esperimenti che abbiamo descritto ci hanno portato a pensare che per rappresentare gli stati fisici sia conveniente usare dei vettori complessi, perché queste entità si sommano semplicemente quando sovrapponiamo gli stati.

L’idea di usare dei vettori complessi per rappresentare gli stati si rivelerà molto fertile, infatti tutte le leggi della Meccanica Quantistica si scrivono come semplici equazioni lineari in termini di questi vettori. Prima di andare avanti con la teoria conviene dedicare un paragrafo all’algebra degli spazi vettoriali complessi.

▶Prova il simulatore interattivo · Esperimento 4→

Richiami di algebra degli spazi vettoriali complessi.

Preso un numero complesso c=a+ib indicheremo il suo complesso coniugato con il simbolo c^*=a-ib (c^* si legge “ci star”). Il prodotto cc^*=a²+b² è un numero reale positivo e viene chiamato modulo quadro di c.

Consideriamo ora un vettore colonna $\left(\begin{gathered} \alpha_1 \\ \alpha_2 \end{gathered}\right)$ , possiamo definire il suo duale con il vettore riga $(\alpha_1^*,\alpha_2^*)$ . In questo modo il prodotto tra il vettore e il suo duale

\begin{aligned} (\alpha_1^*,\alpha_2^*)\left(\begin{gathered} \alpha_1 \\ \alpha_2 \end{gathered}\right) & =\alpha_1^*\alpha_1+\alpha_2^*\alpha_2 \\ & =|\alpha_1|^2+|\alpha_2|^2 \end{aligned}

da un numero reale positivo che viene chiamato modulo quadro del vettore.

Se abbiamo uno stato fisico α, indicheremo il vettore a esso associato con il simbolo $|\alpha\rangle$

|\alpha\rangle=\left(\begin{gathered} \alpha_1 \\ \alpha_2 \end{gathered}\right)

e indicheremo il suo duale con il simbolo $\langle\alpha|$

\langle\alpha|=\left(\alpha_1^*,\alpha_2^*\right)

I simboli $\langle\;|$ e $|\;\rangle$ vengono chiamati rispettivamente bra e ket perché unendo questi nomi si ottiene la parola “bracket” che in inglese vuol dire parentesi. Li abbiamo introdotti perché ci permettono di distinguere tra righe e colonne, e ci rendono molto chiara la lettura di espressioni in cui compaiono prodotti matriciali.

Ad esempio possiamo avere

\begin{aligned} \langle\alpha|\beta\rangle & =\left(\alpha_1^*,\alpha_2^*\right)\left(\begin{gathered} \beta_1 \\ \beta_2 \end{gathered}\right) \\ & =\alpha_1^*\beta_1+\alpha_2^*\beta_2 \end{aligned}

oppure possiamo avere

\begin{aligned} |\alpha\rangle\langle\beta| & =\left(\begin{gathered} \alpha_1 \\ \alpha_2 \end{gathered}\right)\left(\beta_1^*,\beta_2^*\right) \\ & =\begin{pmatrix} \alpha_1\beta_1^* & \alpha_1\beta_2^* \\ \alpha_2\beta_1^* & \alpha_2\beta_2^* \end{pmatrix} \end{aligned}

Questi due prodotti sono completamente differenti, in un caso abbiamo un vettore riga per uno colonna e otteniamo un numero, nell’altro caso abbiamo un vettore colonna per uno riga e otteniamo una matrice.

Prodotto scalare.

Dati due vettori $|\alpha\rangle$ e $|\beta\rangle$ il prodotto

\begin{aligned} \langle\alpha|\beta\rangle & =\left(\alpha_1^*,\alpha_2^*\right)\left(\begin{gathered} \beta_1 \\ \beta_2 \end{gathered}\right) \\ & =\alpha_1^*\beta_1+\alpha_2^*\beta_2 \end{aligned}

viene chiamato prodotto scalare tra $|\alpha\rangle$ e $|\beta\rangle$ .

Ricordiamo che nel campo reale il prodotto scalare tra due vettori reali $|\alpha\rangle$ e $|b\rangle$ viene definito senza il complesso coniugato:

\begin{aligned} \langle a|b\rangle & =\left(a_1,a_2\right)\left(\begin{gathered} b_1 \\ b_2 \end{gathered}\right) \\ & =a_1b_1+a_2b_2 \end{aligned}

Osserviamo, prima di tutto, che le due definizioni sono compatibili, perché il complesso coniugato di un numero reale è il numero stesso a^*=a. Quindi la definizione data nel campo complesso si riduce a quella data nel campo reale se i vettori a cui si applica sono reali.

Tuttavia può rimanere un dubbio, perché nel campo complesso non definiamo il prodotto scalare semplicemente senza il complesso coniugato

$\langle\alpha|\beta\rangle=(\alpha_1,\alpha_2)\left(\begin{gathered} \beta_1 \\ \beta_2 \end{gathered}\right)=\alpha_1\beta_1+\alpha_2\beta_2$ ?

La risposta è molto semplice, questa definizione non gode di alcune proprietà molto importanti. Ad esempio, con questa definizione il prodotto di un vettore per se stesso $\langle\alpha|\alpha\rangle$ non è detto che sia un numero reale quindi si perde il concetto di modulo. Inoltre in alcuni casi il prodotto $\langle\alpha|\alpha\rangle$ potrebbe essere nullo senza che il vettore $|\alpha\rangle$ sia nullo, ad esempio se

|\alpha\rangle=\left(\begin{gathered} 1 \\ i \end{gathered}\right)

abbiamo

\begin{aligned} \langle\alpha|\alpha\rangle & =(1,i)\left(\begin{gathered} 1 \\ i \end{gathered}\right) \\ & =1+i^2 \\ & =1-1 \\ & =0 \end{aligned}

invece con la definizione corretta

\begin{aligned} \langle\alpha|\alpha\rangle & =(1,-i)\left(\begin{gathered} 1 \\ i \end{gathered}\right) \\ & =1-i^2 \\ & =1+1 \\ & =2 \end{aligned}

Per concludere questa digressione vediamo quali sono le proprietà fondamentali del prodotto scalare in uno spazio complesso:

\begin{aligned} & \langle\alpha|\alpha\rangle\text{ è reale ed è }\geq0 \\ & \langle\alpha|\alpha\rangle=0\text{ se e solo se }|\alpha\rangle\text{ è il vettore nullo} \\ \langle\alpha|\beta\rangle & =\langle\beta|\alpha\rangle^* \\ \langle\alpha|\beta_1+\beta_2\rangle & =\langle\alpha|\beta_1\rangle+\langle\alpha|\beta_2\rangle \end{aligned}

Decomposizione di vettori.

per definizione diremo che due vettori $|\alpha\rangle$ e $|\beta\rangle$ sono ortogonali se è nullo il loro prodotto scalare

\langle\alpha|\beta\rangle=0

⇔ sono ortogonali

Teorema: se n vettori non nulli $|\alpha_1\rangle\cdots|\alpha_n\rangle$ sono a due a due ortogonali

\langle\alpha_j|\alpha_k\rangle=0\ \forall j\neq k

allora questi n vettori sono linearmente indipendenti, cioè nessuno di loro può essere ottenuto come combinazione lineare degli altri.

Dimostrazione: per assurdo supponiamo che un vettore, ad esempio il primo, è combinazione degli altri

|\alpha_1\rangle=\lambda_2|\alpha_2\rangle+\cdots+\lambda_n|\alpha_n\rangle

moltiplichiamo scalarmente a destra per $\langle\alpha_1|$

\langle\alpha_1|\alpha_1\rangle=\lambda_2\langle\alpha_1|\alpha_2\rangle+\dots+\lambda_n\langle\alpha_1|\alpha_n\rangle

essendo i vettori per ipotesi ortogonali, abbiamo che tutti i termini al secondo membro sono nulli, quindi

\langle\alpha_1|\alpha_1\rangle=0\Rightarrow|\alpha_1\rangle

è nullo

ma questo è assurdo perché i vettori sono tutti non nulli.

Ora supponiamo di avere uno spazio vettoriale n dimensionale, e di dover scegliere una base per questo spazio. Come è noto, si può scegliere una qualsiasi n-upla di vettori linearmente indipendenti, ma è molto comodo scegliere questi vettori in modo che siano ortogonali tra di loro e in modo che abbiano modulo unitario $\langle\alpha_k|\alpha_k\rangle=1$ . Infatti così facendo diventa molto semplice calcolare le componenti di un generico vettore $|v\rangle$ . Vediamo come:

Prendiamo un vettore $|v\rangle$ e una base di vettori ortogonali di modulo unitario

|\alpha_1\rangle\cdots|\alpha_n\rangle

$|v\rangle$ può essere scritto come combinazione lineare dei vettori $|\alpha_1\rangle\cdots|\alpha_n\rangle$

|v\rangle=c_1|\alpha_1\rangle+\cdots+c_n|\alpha_n\rangle

per calcolare il coefficiente c_k moltiplichiamo questa espressione a sinistra per $\langle\alpha_k|$

\langle\alpha_k|v\rangle=c_1\langle\alpha_k|\alpha_1\rangle+\cdots+c_k\langle\alpha_k|\alpha_k\rangle+\cdots+c_n\langle\alpha_k|\alpha_n\rangle

essendo i vettori di base a due a due ortogonali si ha

\langle\alpha_k|v\rangle=c_k\langle\alpha_k|\alpha_k\rangle

essendo $|\alpha_k\rangle$ di modulo unitario abbiamo

\langle\alpha_k|v\rangle=c_k

Quindi ci rimane la formula per calcolare c_k

c_k=\langle\alpha_k|v\rangle

la componente di $|v\rangle$ lungo il vettore di base $|\alpha_k\rangle$ è data dal prodotto scalare tra questi due vettori.

L’algebra degli spazi vettoriali complessi ha molti altri sviluppi di cui ci occuperemo più avanti. Per ora abbiamo voluto introdurre il prodotto scalare perché ci è indispensabile per formulare una prima versione semplificata della Meccanica Quantistica.

Ritorniamo al nostro semplice sistema.

Lo stato m₀=+k è caratterizzato dal fatto che se si esegue una misura di m₀ si ottiene con certezza il valore m₀=+k, cioè la probabilità di ottenere m₀=+k è uno e la probabilità di ottenere m₀=-k è zero.

Quindi questo stato può essere rappresentato dal vettore ket

|m_0=+k\rangle=\left(\begin{gathered} 1 \\ 0 \end{gathered}\right)

In questa scelta abbiamo un certo grado di libertà, infatti le probabilità sono il modulo quadrato delle componenti. Quindi anche i vettori $\left(\begin{gathered} i \\ 0 \end{gathered}\right)$ oppure $\left(\begin{gathered} e^{i\varphi} \\ 0 \end{gathered}\right)$ vanno bene, perché $|1|^2=|i|^2=|e^{i\varphi}|^2=1$ . Questo grado di libertà deve essere visto come in meccanica classica si vede la scelta del sistema di riferimento, è del tutto indifferente quale scelta facciamo, quindi conviene fare quella più comoda.

Per lo stato m₀=-k vale un discorso analogo

|m_0=-k\rangle=\left(\begin{gathered} 0 \\ 1 \end{gathered}\right)

Osserviamo che i vettori che abbiamo scelto sono ortogonali e hanno modulo unitario

\begin{aligned} \langle m_0=+k|m_0=-k\rangle & =0 \\ \langle m_0=+k|m_0=+k\rangle & =\langle m_0=-k|m_0=-k\rangle \\ & =1 \end{aligned}

Consideriamo ora uno stato α ottenuto da una combinazione degli stati m₀=+k e m₀=-k

\begin{aligned} |\alpha\rangle & =\alpha_+|m_0=+k\rangle+\alpha_-|m_0=-k\rangle \\ & =\left(\begin{gathered} \alpha_+ \\ \alpha_- \end{gathered}\right) \end{aligned}

Possiamo dire che questo stato ha proprietà intermedie a quelle degli stati componenti, nel senso che, se si misura m₀ si hanno i due valori possibili m₀=+k e m₀=-k con probabilità proporzionali ai termini $|\alpha_+|^2$ e $|\alpha_-|^2$

\begin{aligned} P_{m_0=+k} & \propto|\alpha_+|^2 \\ P_{m_0=-k} & \propto|\alpha_-|^2 \end{aligned}

Per ottenere le probabilità effettive dobbiamo normalizzare la distribuzione

\begin{aligned} P_{m_0=+k} & =\frac{|\alpha_+|^2}{|\alpha_+|^2+|\alpha_-|^2}, \\ P_{m_0=-k} & =\frac{|\alpha_-|^2}{|\alpha_+|^2+|\alpha_-|^2} \end{aligned}

Se moltiplichiamo i due numeri α₊ e α_- per uno stesso numero complesso c

c\left(\begin{gathered} \alpha_+ \\ \alpha_- \end{gathered}\right)=\left(\begin{gathered} c\alpha_+ \\ c\alpha_- \end{gathered}\right)

abbiamo la distribuzione

\begin{aligned} P_{m_0=+k} & \propto|c\alpha_+|^2 \\ P_{m_0=-k} & \propto|c\alpha_-|^2 \end{aligned}

normalizzando otteniamo esattamente le stesse probabilità di prima

\begin{aligned} P_{m_0=+k} & =\frac{|c\:\alpha_+|^2}{|c\:\alpha_+|^2+|c\:\alpha_-|^2} \\ & =\frac{|c|^2|\alpha_+|^2}{|c|^2|\alpha_+|^2+|c|^2|\alpha_-|^2} \\ & =\frac{|\alpha_+|^2}{|\alpha_+|^2+|\alpha_-|^2} \\ P_{m_0=-k} & =\frac{|c\:\alpha_-|^2}{|c\:\alpha_+|^2+|c\:\alpha_-|^2} \\ & =\frac{|c|^2|\alpha_-|^2}{|c|^2|\alpha_+|^2+|c|^2|\alpha_-|^2} \\ & =\frac{|\alpha_-|^2}{|\alpha_+|^2+|\alpha_-|^2} \end{aligned}

Questo è coerente con il fatto che in Meccanica Quantistica i vettori

\left(\begin{gathered} \alpha_+ \\ \alpha_- \end{gathered}\right)e\left(\begin{gathered} c\alpha_+ \\ c\alpha_- \end{gathered}\right)

rappresentano la stessa combinazione degli stati base e, quindi, lo stesso stato fisico. Scegliere l’uno o l’altro vettore è del tutto indifferente.

\begin{aligned} P_{m_0=+k} & =|\alpha_+|^2 \\ P_{m_0=-k} & =|\alpha_-|^2 \end{aligned}

Quindi d’ora in poi, rappresentiamo gli stati con vettori di modulo unitario. Ai coefficienti di un vettore di stato con modulo unitario viene dato un nome particolare, vengono chiamati “ampiezze di probabilità”, α₊ è l’ampiezza di probabilità di ottenere m₀=+k e $|\alpha_+|^2$ è la probabilità di ottenere m₀=+k, analogamente per α_- e per $|\alpha_-|^2$ .

Consideriamo ora due stati m_ϑ=+k e m_φ=+k, e consideriamo i vettori che li rappresentano

\begin{aligned} |m_\vartheta=+k\rangle & =\left(\begin{gathered} \alpha_{\vartheta+} \\ \alpha_{\vartheta-} \end{gathered}\right) \\ \ |m_\varphi=+k\rangle & =\left(\begin{gathered} \alpha_{\varphi+} \\ \alpha_{\varphi-} \end{gathered}\right) \end{aligned}

le grandezze α_ϑ+, α_ϑ- e α_φ+, α_φ- sono, rispettivamente, le ampiezze di probabilità di trovare m₀=+k e m₀=-k quando il sistema si trova negli stati m_ϑ=+k e m_φ=-k.

Ma quanto vale l’ampiezza di probabilità di trovare m_ϑ=+k misurando m_ϑ su atomi che si trovano nello stato m_φ=+k?

L’ampiezza di probabilità cercata è pari al prodotto

\langle m_\vartheta=+k|m_\varphi=+k\rangle

cioè è pari alla componente del vettore $|m_\varphi=+k\rangle$ lungo il vettore $|m_\vartheta=+k\rangle$ .

La probabilità, come al solito, è data dal modulo quadro

|\langle m_\vartheta=+k|m_\varphi=+k\rangle|^2

Questa regola era facile da intuire, ma non si può dimostrare in base alle cose che avevamo già detto. Si tratta di un principio fondamentale della Meccanica Quantistica, e ha una validità generale:

supponiamo di avere un sistema in uno stato α e di voler sapere la probabilità che, misurando una grandezza g, si ottenga un particolare valore $g=\overline{g}$ .

Prima dobbiamo prendere il ket normalizzato $|\alpha\rangle$ associato allo stato α.

Poi dobbiamo prendere il ket normalizzato $|g=\overline{g}\rangle$ associato allo stato nel quale, se si misura g, si ottiene con certezza il valore $g=\overline{g}$ .

Infine dobbiamo calcolare la componente del ket $|\alpha\rangle$ lungo il ket $|g=\overline{g}\rangle$

\langle g=\overline{g}|\alpha\rangle

ottenendo così l’ampiezza di probabilità.

La probabilità è data dal modulo quadrato

{\left|\langle g=\overline{g}|\alpha\rangle\right|}^2

Ora siamo in grado di scegliere le giuste componenti dei vettori $|m_0=+k\rangle$ e $|m_0=-k\rangle$ per ogni angolo ϑ.

Per le probabilità relative a $|m_0=+k\rangle$ abbiamo i seguenti risultati sperimentali

\begin{aligned} P_{m_0=+k} & =\cos^2\frac{\vartheta}{2} \\ P_{m_0=-k} & =\sin^2\frac{\vartheta}{2} \end{aligned}

che, ad esempio possono derivare dai vettori

\left(\begin{gathered} \cos\frac{\vartheta}{2} \\ \sin\frac{\vartheta}{2} \end{gathered}\right)\ \text{oppure}\ \left(\begin{gathered} \cos\frac{\vartheta}{2} \\ -\sin\frac{\vartheta}{2} \end{gathered}\right)\ \text{oppure}\ \left(\begin{gathered} e^{i\phi_1}\cos\frac{\vartheta}{2} \\ e^{i\phi_2}\sin\frac{\vartheta}{2} \end{gathered}\right)

Anche in questo caso abbiamo un certo grado di libertà, questo perché non possiamo misurare direttamente le ampiezze di probabilità, ma solo le probabilità. La scelta più semplice è la seguente

|m_\vartheta=+k\rangle=\left(\begin{gathered} \cos\frac{\vartheta}{2} \\ \sin\frac{\vartheta}{2} \end{gathered}\right)

Per lo stato $|m_0=-k\rangle$ possiamo scegliere

|m_\vartheta=-k\rangle=\left(\begin{gathered} \sin{\displaystyle \frac{\vartheta}{2}} \\ -\cos{\displaystyle \frac{\vartheta}{2}} \end{gathered}\right)

Il segno meno davanti al $\cos\frac{\vartheta}{2}$ è necessario perché i due vettori devono essere ortogonali $\langle m_\vartheta=+k|m_\vartheta=-k\rangle=0$ . Infatti sappiamo che la probabilità di ottenere m_ϑ=+k nello stato m_ϑ=-k è zero.

A questo punto, per verificare la coerenza delle cose che abbiamo detto, proviamo a calcolare la probabilità di trovare m_ϑ=+k in uno stato m_φ=+k.

\begin{aligned} P & =|\langle m_\varphi=+k|m_\vartheta=+k\rangle|^2 \\ & ={\left|\left(\cos\frac{\varphi}{2},\sin\frac{\varphi}{2}\right)\left(\begin{gathered} \cos\frac{\vartheta}{2} \\ \sin\frac{\vartheta}{2} \end{gathered}\right)\right|}^2= \\ & ={\left|\frac{e^{i\frac{\varphi}{2}}+e^{-i\frac{\varphi}{2}}}{2}\frac{e^{i\frac{\vartheta}{2}}+e^{-i\frac{\vartheta}{2}}}{2}+\frac{e^{i\frac{\varphi}{2}}-e^{-i\frac{\varphi}{2}}}{2i}\frac{e^{i\frac{\vartheta}{2}}-e^{-i\frac{\vartheta}{2}}}{2i}\right|}^2= \\ & ={\left|\frac{e^{i\frac{\varphi+\vartheta}{2}}+e^{i\frac{\varphi-\vartheta}{2}}+e^{-i\frac{\varphi-\vartheta}{2}}+e^{-i\frac{\varphi+\vartheta}{2}}}{4}-\frac{e^{i\frac{\varphi+\vartheta}{2}}+e^{-i\frac{\varphi-\vartheta}{2}}-e^{i\frac{\varphi-\vartheta}{2}}-e^{-i\frac{\varphi+\vartheta}{2}}}{4}\right|}^2= \\ & ={\left|\frac{2e^{i\frac{\varphi-\vartheta}{2}}+2e^{-i\frac{\varphi-\vartheta}{2}}}{4}\right|}^2 \\ & =|\cos\frac{\varphi-\vartheta}{2}|^2 \\ & =\cos^2\frac{\varphi-\vartheta}{2} \end{aligned}

Analogamente si può calcolare

{\left|\langle m_\varphi=-k|m_\vartheta=+k\rangle\right|}^2=\sin^2\frac{\varphi-\vartheta}{2}

In perfetto accordo con gli esperimenti mentali di Stern-Gerlach in cascata che abbiamo descritto.

Nota 03 Questi esperimenti in cascata sono esperimenti mentali: realizzarli davvero non è affatto semplice. Perché, e quando ci si è riusciti →

Come ultimo passo ci resta da studiare l’evoluzione temporale dei vettori di stato.

Evoluzione temporale.

Dato un sistema, supponiamo di conoscere il ket di stato iniziale $|\alpha t_0\rangle$ e le “condizioni ambientali”. Ci chiediamo quale sarà il ket di stato $|\alpha t\rangle$ in un generico istante t.

Possiamo organizzare un esperimento nel seguente modo:

prendiamo un fascio di atomi di cui conosciamo lo stato, lo facciamo passare attraverso una scatola contenente varie macchine di Stern-Gerlach e, all’uscita dopo il tempo $\Delta t=t-t_0$ necessario all’attraversamento della scatola, osserviamo lo stato degli atomi (vedi fig.12).

La scatola con le macchine di Stern-Gerlach. — **Fig. 12** — la scatola contenente le macchine di Stern-Gerlach.

Nel predisporre la scatola dobbiamo però prestare attenzione. Stiamo studiando un sistema semplificato, in cui degli atomi osserviamo soltanto il momento magnetico e nessun’altra grandezza, come ad esempio la posizione. Negli esperimenti visti in precedenza avevamo inserito dei setti per bloccare alcuni fasci, ma quei setti servivano a preparare lo stato iniziale: da lì in poi osservavamo l’evoluzione senza altri interventi. Qui procediamo allo stesso modo. A monte possiamo posizionare dei setti — per esempio per selezionare il fascio con ϑ=0 — così da fissare lo stato di partenza; da quel momento lasciamo evolvere il sistema, il cui unico agente esterno è il campo magnetico che interagisce con lo spin. All’interno della scatola, invece, durante l’evoluzione non possiamo inserire setti che blocchino i fasci: lo stato degli atomi che li urtassero andrebbe descritto anche in termini di posizione, oltre che di momento magnetico, portandoci fuori dallo schema semplice che stiamo studiando.

Possiamo considerare un esperimento che abbiamo già eseguito (Esperimento numero 4) di cui riportiamo la figura.

Supponiamo di poter ruotare la prima macchina di un angolo ϑ, così in ingresso abbiamo atomi nello stato $|{\alpha t}_0\rangle\equiv|m_\vartheta=+k\rangle$ . Quando questi atomi entrano nella scatola lo stato viene diviso in due componenti

\begin{aligned} |\alpha t_0\rangle & =|m_\vartheta=+k\rangle \\ & =c_+|m_{90}=+k\rangle+c_-|m_{90}=-k\rangle \end{aligned}

dove i termini c₊ e c_- sono dati dai prodotti scalari

\begin{aligned} C_+ & =\langle m_{90}=+k|m_\vartheta=+k\rangle \\ C_- & =\langle m_{90}=-k|m_\vartheta=+k\rangle \end{aligned}

Il fascio $|m_{90}=-k\rangle$ viene sfasato di un fattore e^iφ e in uscita abbiamo lo stato composto

\begin{aligned} |\alpha t\rangle & =c_+|m_{90}=+k\rangle+e^{i\varphi}c_-|m_{90}=-k\rangle \\ & =\langle m_{90}=+k|\alpha t_0\rangle|m_{90}=+k\rangle+e^{i\varphi}\langle m_{90}=-k|\alpha t_0\rangle|m_{90}=-k\rangle \\ & =\left(|m_{90}=+k\rangle\langle m_{90}=+k|+e^{i\varphi}|m_{90}=-k\rangle\langle m_{90}=-k|\right)|\alpha t_0\rangle \\ & =U|\alpha t_0\rangle \end{aligned}

dove U è la matrice

\begin{aligned} U & =|m_\varphi=+k\rangle\langle m_\varphi=+k|+e^{i\varphi}|m_\varphi=-k\rangle\langle m_\varphi=-k|= \\ & =\left(\begin{gathered} \cos\frac{\varphi}{2} \\ \sin\frac{\varphi}{2} \end{gathered}\right)\left(\cos\frac{\varphi}{2},\sin\frac{\varphi}{2}\right)+e^{i\varphi}\left(\begin{gathered} \sin\frac{\varphi}{2} \\ -\cos\frac{\varphi}{2} \end{gathered}\right)\left(\sin\frac{\varphi}{2},-\cos\frac{\varphi}{2}\right)= \\ & =\begin{pmatrix} \cos^2\frac{\varphi}{2}+e^{i\varphi}\sin^2\frac{\varphi}{2} & (1-e^{i\varphi})\left(\cos\frac{\varphi}{2}\sin\frac{\varphi}{2}\right) \\ (1-e^{i\varphi})\left(\cos\frac{\varphi}{2}\sin\frac{\varphi}{2}\right) & \sin^2\frac{\varphi}{2}+e^{i\varphi}\cos^2\frac{\varphi}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}

Questa matrice viene detta matrice di evoluzione temporale tra gli istanti t₀ e t, e si riferisce al particolare ambiente, cioè all’apparato che costituisce l’esperimento.

In generale per qualsiasi fenomeno esiste una matrice $U(t_0\to t)$ tale che dato $|\alpha t_0\rangle$ si calcola $|\alpha t\rangle$ con il prodotto $|\alpha t\rangle=U(t_0\to t)|\alpha t_0\rangle$ .

Un’importante proprietà della matrice di evoluzione temporale è che conserva i prodotti scalari. Cioè se prendiamo due vettori di stato $|\alpha t_0\rangle$ e $|\beta t_0\rangle$ , e prendiamo i vettori ottenuti dall’evoluzione di questi

\begin{aligned} |\alpha t\rangle & =U(t_0\to t)|\alpha t_0\rangle\;|\beta t\rangle \\ & =U(t_0\to t)|\beta t_0\rangle \end{aligned}

i prodotti scalari tra i primi e tra i secondi sono uguali

\langle\alpha t|\beta t\rangle=\langle\alpha t_0|\beta t_0\rangle

Nota 02 La stessa proprietà vale per qualunque coppia di stati: la dimostrazione →

Possiamo verificare questa proprietà per il caso particolare dell’esperimento 4, prima però vediamo un dettaglio di algebra:

Se prendiamo un vettore $|\alpha\rangle=\left(\begin{gathered} \alpha_1 \\ \alpha_2 \end{gathered}\right)$ il suo duale è $\langle\alpha|=\left(\alpha_1^*,\alpha_2^*\right)$ . Se moltiplichiamo $|\alpha\rangle$ per un numero c abbiamo $c|\alpha\rangle=c\left(\begin{gathered} \alpha_1 \\ \alpha_2 \end{gathered}\right)=\left(\begin{gathered} c\alpha_1 \\ c\alpha_2 \end{gathered}\right)$ , e il duale sarà $(c^*\alpha_1^*,c^*\alpha_2^*)=c^*(\alpha_1^*,\alpha_2^*)=c^*\langle\alpha|$ . Dunque il duale di $c|\alpha\rangle$ è $c^*\langle\alpha|$ .

Ora calcoliamo $\langle\alpha t|\beta t\rangle$ e mostriamo che il risultato è uguale a $\langle\alpha t_0|\beta t_0\rangle$ .

|\beta\rangle=|m_\vartheta=+k\rangle\langle m_\vartheta=+k|\beta_0\rangle+e^{i\varphi}|m_\vartheta=-k\rangle\langle m_\vartheta=-k|\beta_0\rangle

eseguendo il prodotto scalare ed eliminando i termini nulli

\begin{aligned} \langle\alpha|\beta\rangle & =\langle m_\vartheta=+k|\beta_0\rangle\langle m_\vartheta=+k|\beta_0\rangle^*+\langle m_\vartheta=-k|\beta_0\rangle\langle m_\vartheta=-k|\beta_0\rangle^*= \\ & =\langle m_\vartheta=+k|\beta_0\rangle\langle\beta_0|m_\vartheta=+k\rangle+\langle m_\vartheta=-k|\beta_0\rangle\langle\beta_0|m_\vartheta=-k\rangle= \\ & =\langle\beta_0|(|m_\vartheta=+k\rangle\langle m_\vartheta=+k|+|m_\vartheta=-k\rangle\langle m_\vartheta=-k|)|\beta_0\rangle= \\ & =\langle\beta_0|\beta_0\rangle \end{aligned}

Per concludere, riepiloghiamo i principi fondamentali a cui siamo arrivati: non li abbiamo dimostrati, ma introdotti e suggeriti dagli esperimenti mentali che abbiamo svolto.

Principi della Meccanica Quantistica (versione semplificata).

Vettore complesso. Lo stato del sistema è descritto da un vettore $|\alpha\rangle=\left(\begin{gathered}\alpha_1\\\vdots\\\alpha_n\end{gathered}\right)$ con una componente per ciascuno dei valori possibili ${\overline{g}}_1,{\overline{g}}_2,\cdots{\overline{g}}_n.$ della grandezza osservata. Per ogni valore $\overline{g}$ che la misura della grandezza g può dare esiste uno stato, che indichiamo con il ket $|g=\overline{g}\rangle$ , nel quale quella misura dà con certezza il valore $\overline{g}$ ; presi questi ket come base, la componente $\alpha_i$ è il prodotto scalare $\langle g={\overline{g}}_i|\alpha\rangle$ e si chiama ampiezza di probabilità. Per un sistema nello stato $|\alpha\rangle$ , la probabilità di ottenere il valore $\overline{g}$ è proporzionale al modulo quadro dell’ampiezza corrispondente: $P_{g=\overline{g}}\propto{\left|\langle g=\overline{g}|\alpha\rangle\right|}^2$
Sovrapposizione lineare. Due stati si possono combinare, ciascuno con un coefficiente complesso, e la combinazione è ancora uno stato. Lo stato evolve nel tempo con continuità e, nell’evoluzione, ogni termine evolve come evolverebbe da solo, con lo stesso coefficiente, e lo stato successivo è la somma dei termini evoluti: $|\alpha t\rangle=U(t_0\to t)|\alpha t_0\rangle$
Conservazione del totale. Finché il sistema non viene osservato, la somma dei moduli quadri di tutte le componenti non cambia durante l’evoluzione.

La matrice $U(t_0\to t)$ che compare nel secondo principio dipende dal sistema e dalle “condizioni ambientali”. È detta matrice di evoluzione temporale e, per i principi appena enunciati, lascia invariati i prodotti scalari $\langle\alpha t|\beta t\rangle=\langle\alpha t_0|\beta t_0\rangle$

Questi che abbiamo sintetizzato sono una versione semplificata dei principi fondamentali. In generale per descrivere lo stato di un sistema non è sufficiente usare una sola grandezza osservabile, ma bisognerà usarne più di una. Nel seguito mostreremo come si generalizza la teoria ai casi più complessi, e affronteremo l’importante problema di determinare la matrice di evoluzione temporale per i vari sistemi che studieremo. In particolare, quando la grandezza osservata è la posizione i valori possibili diventano infiniti e il vettore di numeri complessi si trasforma in una funzione.

Sono i tre principi enunciati nell’introduzione: lì nella forma particolare della particella che si muove nello spazio, qui in forma generale — e la “funzione” dell’introduzione è qui un vettore, perché i valori possibili sono in numero finito. Nell’introduzione se ne aggiunge un quarto, l’accordo con la meccanica di Newton: qui non servirebbe, perché non c’è ancora un moto nello spazio da confrontare con la meccanica classica.

Nota 04 Perché i principi non dicono che cosa lascia una misura: la spiegazione →