Capitolo 6

Ulteriori sviluppi della Teoria

Nella scheda quattro abbiamo introdotto l’equazione di Schrödinger per una particella carica in un potenziale elettrico. Questa equazione ci permette di determinare $\psi(x,y,z,t)$ , cioè la distribuzione di ampiezze di probabilità in funzione del tempo per la terna di grandezze misurabili $(x,y,z)$ . Lo scopo centrale della presente scheda sarà quello di determinare la distribuzione di ampiezze di probabilità per altre grandezze osservabili, in particolare per la quantità di moto, per il momento angolare e per l’energia.

Per raggiungere lo scopo è necessario rivedere e generalizzare i principi della Meccanica Quantistica nella versione semplificata che riassumiamo qui di seguito.

Principi della Meccanica Quantistica.

Per comodità di lettura li riportiamo per esteso, negli enunciati su cui lavoreremo e con i vettori intesi normalizzati.

Un sistema fisico è caratterizzato dalle sue grandezze fisiche che possono essere misurate.

Quando si misura una grandezza g sono possibili diversi risultati, e ogni risultato ha una certa probabilità di presentarsi. Per ogni risultato possibile $g=\overline{g}$ esiste uno stato nel quale la misura di g dà con certezza il valore $g=\overline{g}$ . Un tale stato viene detto autostato di g con autovalore $\overline{g}$ .

Un qualsiasi altro stato α può essere considerato come una sovrapposizione degli autostati di una grandezza g e può essere rappresentato da un vettore di numeri complessi $|\alpha\rangle=\left(\begin{gathered} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{gathered}\right)$ . Ogni numero complesso è associato a uno dei possibili valori che può assumere la grandezza g, ${\overline{g}}_1,{\overline{g}}_2,\dots{\overline{g}}_n.$ Il modulo quadrato di ognuno di questi numeri complessi, ad esempio α_k, dà la probabilità che misurando la grandezza g si ottenga il particolare valore ${\overline{g}}_k$ associato al numero considerato.

In generale se il sistema si trova in uno stato α e si misura una grandezza $g'$ , la probabilità che si ottenga $g'={\overline{g}}'$ è data dal modulo quadro del prodotto scalare tra il vettore $|\alpha\rangle$ e il vettore $|g'={\overline{g}}'\rangle$ associato all’autostato $g'={\overline{g}}'$ di $g'$ . $P_{g'={\overline{g}}'}={\left|\left\langle g'={\overline{g}}'|\alpha\right\rangle\right|}^2$

L’evoluzione nel tempo di uno stato αt è continua e segue una legge lineare $|\alpha t\rangle=U(t_0\longrightarrow t)|\alpha t_0\rangle$

dove $U(t_0\to t)$ è una matrice che dipende dal sistema e dalle “condizioni ambientali”. La matrice $U\left(t_0\to t\right)$ è detta matrice di evoluzione temporale. Infine, finché il sistema non viene osservato, la somma dei moduli quadri di tutte le componenti non cambia durante l’evoluzione. Da quest’ultimo principio, insieme alla sovrapposizione lineare, segue il teorema di conservazione del prodotto scalare: la matrice di evoluzione temporale lascia invariati i prodotti scalari $\langle\alpha t\mid\beta t\rangle=\langle\alpha t_0\mid\beta t_0\rangle$

Nota 02 Perché la matrice di evoluzione lascia invariati i prodotti scalari: la dimostrazione →

Nell’enunciato sulla misura si introduce appunto il concetto di autostato cioè di uno stato tale che se si esegue una misura si ottiene con certezza un dato valore detto autovalore. Nel caso di una particella materiale gli autostati ad esempio della grandezza x sono quelli rappresentati da vettori del tipo

\psi(x,y,z)=\delta(x-\overline{x})\psi(y,z)

infatti con questo vettore si ottiene una distribuzione di probabilità che è nulla se $x\neq\overline{x}$ , ed è non nulla solo se $x=x$ , quindi quando si esegue una misura di x si otterrà per forza il valore $\overline{x}$ . Un altro esempio è dato dallo stato rappresentato dal vettore

\psi(x,y,z)=\delta(x-\overline{x})\delta(y-\overline{y})\delta(z-\overline{z})

in questo caso se si esegue una misura di x, di y o di z, si otterranno con certezza i valori $\overline{x}$ , $\overline{y}$ e $\overline{z}$ ; quindi questo che abbiamo considerato è contemporaneamente un autostato delle grandezze x, y e z.

I principi che abbiamo dato in realtà sono una versione semplificata, perché si suppone che dato un valore $\overline{g}$ l’autostato associato a $\overline{g}$ sia unico, il che in generale non è vero; ad esempio nel caso di una particella materiale nello spazio tridimensionale gli autostati associati a un autovalore $\overline{x}$ di x sono infiniti:

\psi(x,y,z)=\delta(x-\overline{x})\psi(y,z)

Quindi non possiamo parlare dello stato $x=x$ , perché non è uno solo, ma possiamo parlare dello stato $x=\overline{x},y=\overline{y},z=\overline{z}$ , infatti questo stato è univocamente determinato e la relativa distribuzione di probabilità è

\psi(x,y,z)=\delta(x-\overline{x})\delta(y-\overline{y})\delta(z-\overline{z})

Il principio di sovrapposizione lineare si deve generalizzare dicendo che un qualsiasi stato può essere considerato come la sovrapposizione degli “autostati simultanei” di un certo set di grandezze fisiche $g_1\cdot\cdot\cdot g_n$ . I coefficienti di questa sovrapposizione non avranno più un solo indice ma ne avranno tanti quante sono le grandezze osservabili delle quali si prendono gli autostati, quindi non avremo $\alpha_k$ ma avremo $\alpha_{k_1\dots k_n}$ , oppure nel caso continuo non avremo $\psi(x)$ ma avremo $\psi(x,y,z)$ .

Un set di grandezze fisiche $g_1\cdots g_n$ tale che esiste un unico autostato simultaneo associato agli autovalori $\overline{g}_1\cdots\overline{g}_n$ si dirà “completo”. Ad esempio le tre variabili posizione x, y e z costituiscono un set completo, perché data una terna di valori $\overline{x},\overline{y}$ e $\overline{z}$ , esiste un unico autostato simultaneo associato a questa terna.

Il ket associato allo stato $x=\overline{x},y=\overline{y},z=\overline{z}$ potrà essere indicato con il simbolo

|x=\overline{x},y=\overline{y},z=\overline{z}\rangle

tuttavia preferiremo fare un abuso di notazione e usare una notazione più compatta indicando il ket con il simbolo $|xyz\rangle$ . (C’è un abuso di notazione perché se volessimo sostituire dei numeri, ad esempio $\overline{x}=1$ , $\overline{y}=2$ e $\overline{z}=3$ , avremmo il simbolo $|123\rangle$ nel quale sono indicati dei valori, ma non sono indicate le relative grandezze).

Ora consideriamo la regola delle probabilità e supponiamo ad esempio di voler calcolare l’ampiezza di probabilità che, misurando x, y e z contemporaneamente su una particella in uno stato $|\psi\rangle$ , vengano i valori $\overline{x},\overline{y}$ e $\overline{z}$ ; allora l’ampiezza di probabilità cercata è data dal prodotto scalare $\langle xyz|\psi\rangle$ e la probabilità è data dal modulo quadro $|\langle\overline{xyz}|\psi\rangle|^2$ .

Ma se vogliamo la probabilità che misurando solo x venga $\overline{x}$ ? Possiamo scrivere $P_{x=\overline{x}}={\left|\left\langle\overline{x}|\psi\right\rangle\right|}^2$ ?

No, perché il simbolo $\langle\overline{x}|$ non ha significato, infatti l’autovalore $\overline{x}$ non identifica un unico autostato.

Se vogliamo la probabilità che misurando solo x venga $\overline{x}$ allora dobbiamo prima calcolare la probabilità

p(\overline{x},\overline{y},\overline{z})={\left|\langle\overline{xyz}\mid\psi\rangle\right|}^2

e poi calcolare l’integrale

p(\overline{x})=\iint_{\text{Tutto il piano }\overline{y}\overline{z}} p(\overline{x},\overline{y},\overline{z})\:d\overline{y}\:d\overline{z}.

A questo punto scriviamo i principi generalizzati

Un sistema fisico è caratterizzato dalle sue grandezze fisiche che possono essere misurate.

2.bis In generale dato un valore $\overline{g}$ possono esistere infiniti autostati associati a questo valore. Tuttavia è sempre possibile trovare un set di variabili completo $g_1\cdots g_n$ , tale che, dati gli n valori ${\overline{g}}_1\cdot\cdot\cdot{\overline{g}}_n$ , esiste un unico autostato simultaneo associato a questi valori.

Un qualsiasi altro stato α può essere considerato come una sovrapposizione degli autostati simultanei di un set di grandezze $g_1\cdot\cdot\cdot g_n$ , e può essere rappresentato da un vettore di numeri complessi con n indici $|\alpha\rangle\equiv\left(\alpha_{k_1\dots k_n}\right)$ . Ogni numero complesso è associato a una delle possibili combinazioni di valori che può assumere la n-upla di grandezze $g_1\cdot\cdot\cdot g_n$ . Il modulo quadrato di ognuno di questi numeri complessi, ad esempio $\alpha_{k_1\dots k_n}$ , dà la probabilità che misurando contemporaneamente le grandezze $g_1\cdot\cdot\cdot g_n$ si ottenga il particolare set di valori $\overline{g}_{k_1}\cdots\overline{g}_{k_n}$ , quelli che individuano l’autostato simultaneo $|{\overline{g}}_{k_1}\cdots{\overline{g}}_{k_n}\rangle\leftrightarrow g_1={\overline{g}}_{k_1}\cdots g_n={\overline{g}}_{k_n}$ .

In generale se il sistema si trova in uno stato α e si misura contemporaneamente un set completo di grandezze $g_1\cdots g_n$ , la probabilità che si ottenga $g_1'={\overline{g}}_1'\dots g_n'={\overline{g}}_n'$ è data dal modulo quadro del prodotto scalare tra il vettore $|\alpha\rangle$ e il vettore $|g_1'\cdots g_n'\rangle$ associato all’autostato simultaneo $g_1'={\overline{g}}_1'\dots g_n'={\overline{g}}_n'$ . Cioè $P_{g_1'={\overline{g}}_1'\dots g_n'={\overline{g}}_n'}={\left|\left\langle{\overline{g}}_1'\dots{\overline{g}}_n'|\alpha\right\rangle\right|}^2$ .

L’evoluzione nel tempo di uno stato αt è continua e segue una legge lineare $|\alpha t\rangle=U(t_0\longrightarrow t)|\alpha t_0\rangle$

La generalizzazione di questi principi al caso continuo è immediata, basta sostituire alla rappresentazione indiciale $\alpha_{k_1\dots k_n}$ la rappresentazione funzionale $\psi(x_1\dots x_n)$ .

Con la rappresentazione funzionale lo stato di una particella è descritto da una funzione complessa della posizione: in questa forma si ritrovano le premesse enunciate nell’introduzione, alle quali si aggiunge l’accordo con la meccanica di Newton — la richiesta che nella scheda quattro ci ha permesso di ricavare l’equazione di Schrödinger.

Osserviamo che due ket $|g_1\cdots g_n\rangle$ e $|g_1'\cdots g_n'\rangle$ sono ortogonali, a meno che non abbiano tutti i valori uguali ${\overline{g}}_1={\overline{g}}_1'\dots{\overline{g}}_n={\overline{g}}_n'$ . Infatti se supponiamo che uno dei valori, ad esempio il primo, è diverso $g_1\neq g_1'$ allora abbiamo che la probabilità di ottenere i valori ${\overline{g}}_1\cdots{\overline{g}}_n$ nello stato $|g_1'\cdots g_n'\rangle$ è zero, dunque:

\begin{aligned} |\langle{\overline{g}}_1\cdots{\overline{g}}_n|{\overline{g}}_1'\cdots{\overline{g}}_n'\rangle|^2 & =0\Leftrightarrow \\ \langle{\overline{g}}_1\cdots{\overline{g}}_n|{\overline{g}}_1'\cdots{\overline{g}}_n'\rangle & =0 \end{aligned}

⇔ sono ortogonali.

Se i ket $|g_1\cdots g_n\rangle$ oltre a essere ortogonali sono anche normalizzati, allora le componenti di un generico ket $|\alpha\rangle$ nella base $\{|\overline{g}_1\cdots\overline{g}_n\rangle\}$ si potranno scrivere con il prodotto scalare $\alpha_{k_1\dots k_n}=\langle{\overline{g}}_{k_1}\dots{\overline{g}}_{k_n}|\alpha\rangle$ , quindi avremo

\begin{aligned} |\alpha\rangle & =\sum_{k_1\dots k_n}\alpha_{k_1\dots k_n}|{\overline{g}}_{k_1}\dots{\overline{g}}_{k_n}\rangle \\ & =\sum_{k_1\dots k_n}|{\overline{g}}_{k_1}\dots{\overline{g}}_{k_n}\rangle\langle{\overline{g}}_{k_1}\dots{\overline{g}}_{k_n}|\alpha\rangle \\ & =\left[\sum_{k_1\dots k_n}|{\overline{g}}_{k_1}\dots{\overline{g}}_{k_n}\rangle\langle{\overline{g}}_{k_1}\dots{\overline{g}}_{k_n}|\right]|\alpha\rangle \end{aligned}

Queste identità devono essere vere per ogni scelta del ket $|\alpha\rangle$ , quindi possiamo dedurre la formula

\sum_{k_1\dots k_n}|{\overline{g}}_{k_1}\cdots{\overline{g}}_{k_n}\rangle\langle{\overline{g}}_{k_1}\cdots{\overline{g}}_{k_n}|=I

dove con I abbiamo indicato la matrice identità. Questa formula ci sarà utilissima in molte occasioni future.

Ora supponiamo di voler calcolare la distribuzione di ampiezze di probabilità associata ad altre grandezze fisiche diverse dalla posizione, ad esempio la quantità di moto $\overline{p}$ . (D’ora in avanti con i simboli sopralineati indicheremo le grandezze vettoriali).

Ampiezze di probabilità per la quantità di moto.

Se conosciamo lo stato di una particella materiale, e conosciamo la distribuzione di ampiezze di probabilità per la variabile posizione $\psi(x,y,z)$ , come possiamo determinare la distribuzione di ampiezze di probabilità per la grandezza quantità di moto?

Se conoscessimo gli autostati della quantità di moto allora potremmo applicare il quarto postulato, ma questi autostati non li conosciamo e li dobbiamo determinare.

Per trovare la soluzione al nostro problema dobbiamo prendere l’altro capo della matassa, cioè supponiamo di conoscere quali siano gli autostati della quantità di moto, e da questi cerchiamo di calcolare un valore che già conosciamo per altra via, così potremo avere un legame tra le cose che sappiamo e quelle che non abbiamo ancora determinato.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il valore medio della componente lungo x della quantità di moto $\langle p_x\rangle$ , supponendo di conoscere lo stato del sistema $|\psi\rangle$ e gli autostati della quantità di moto.

Per mantenere la generalità non possiamo ipotizzare che la grandezza $p_x$ da sola costituisca un set completo, quindi per “completare il set” introduciamo un insieme di grandezze ausiliarie che indicheremo brevemente con un unico simbolo contratto $\xi$ . Per rappresentare un autostato associato a un autovalore $p_x'$ useremo il ket $|p_x',\xi'\rangle$ , dove $\xi'$ è un multiindice relativo all’insieme delle grandezze ausiliarie $\xi$ .

(Nota che sarebbe sbagliato scrivere il ket $|p_x'\rangle$ , perché non è possibile identificare uno stato dando solo il valore $p_x'$ assunto dalla grandezza $p_x$ ).

In base a queste notazioni possiamo scrivere la probabilità:

\begin{aligned} \rho(p_x,\xi) & ={\left|\langle p_x,\xi|\psi\rangle\right|}^2 \\ & =\langle\psi|p_x,\xi\rangle\langle p_x,\xi|\psi\rangle \end{aligned}

Dove abbiamo indicato la probabilità con il simbolo $\rho$ per non creare confusione con la p della quantità di moto.

In base a questa formula possiamo calcolare il valore medio:

\begin{aligned} \langle p_x\rangle & =\int_\xi d\xi'\int_{-\infty}^{+\infty}\rho(p_x',\xi')p_x'\:dp_x' \\ & =\int_\xi d\xi'\int_{-\infty}^{+\infty}\langle\psi|p_x',\xi'\rangle p_x'\langle p_x',\xi'|\psi\rangle\:dp_x' \\ & =\langle\psi|\left[\int_\xi d\xi'\int_{-\infty}^{+\infty}|p_x',\xi'\rangle p_x'\langle p_x',\xi'|\:dp_x'\right]|\psi\rangle \end{aligned}

ma noi sappiamo anche che

\langle p_x\rangle=\langle\psi|P_x|\psi\rangle

dove $P_x=-i\hbar D_x$ è l’operatore quantità di moto che abbiamo definito nella quarta scheda. In base a queste due uguaglianze possiamo scrivere

\langle\psi|P_x|\psi\rangle=\langle\psi|\left[\int_\xi d\xi'\int_{-\infty}^{+\infty}|p_x',\xi'\rangle\:p_x'\langle p_x',\xi'|\:dp_x'\right]|\psi\rangle

visto che questa equazione è vera per ogni $\psi$ possiamo dedurre che

P_x=\int_\xi d\xi'\int_{-\infty}^{+\infty}|p_x',\xi'\rangle p_x'\langle p_x',\xi'|dp_x'

Questa formula ci mostra che l’operatore $P_x$ “contiene in sé” gli autostati che stiamo cercando $|p_x',\xi'\rangle$ , quindi dobbiamo trovare il modo di tirarli fuori.

Proviamo a moltiplicare l’operatore $P_x$ per un autostato $|p_x,\xi\rangle$ :

\begin{aligned} P_x|p_x,\xi\rangle & =\int_\xi d\xi'\int_{-\infty}^{+\infty}|p_x',\xi'\rangle p_x'\langle p_x',\xi'|dp_x'|p_x,\xi\rangle= \end{aligned}

\begin{aligned} & \\ & =\int_\xi d\xi'\int_{-\infty}^{+\infty}|p_x',\xi'\rangle p_x'\langle p_x',\xi'|p_x,\xi\rangle\:dp_x'= \end{aligned}

Osservando che $\langle p_x',\xi'|p_x,\xi\rangle$ è nullo se $p_x'\neq p_x$ , all’interno dell’integrale possiamo sostituire il termine “centrale” $p_x'$ con $p_x$ .

\begin{aligned} & \\ & =\int_\xi d\xi'\int_{-\infty}^{+\infty}|p_x',\xi'\rangle p_x\langle p_x',\xi'|p_x,\xi\rangle dp_x' \\ & =p_x\int_\xi d\xi'\int_{-\infty}^{+\infty}|p_x',\xi'\rangle\langle p_x',\xi'|p_x,\xi\rangle dp_x'= \end{aligned}

essendo $\langle p_x',\xi'|p_x,\xi\rangle$ le componenti del vettore $|p_x,\xi\rangle$ nella base $\{|p_x',\xi'\rangle\}$ , l’integrale non è altro che la combinazione che esprime il vettore $|p_x,\xi\rangle$ nella base $\{|p_x',\xi'\rangle\}$ , dunque abbiamo trovato

P_x\:|p_x,\xi\rangle=p_x\:|p_x,\xi\rangle

cioè i vettori di stato $|p_x,\xi\rangle$ sono “autovettori” dell’operatore $P_x$ . Questo è il motivo per cui gli autostati vengono chiamati così.

A questo punto abbiamo determinato un quadro molto chiaro, alla grandezza osservabile $p_x$ è associato un operatore $P_x$ , gli autostati della grandezza $p_x$ sono associati agli autovettori dell’operatore $P_x$ , mentre i valori che può assumere la grandezza $p_x$ sono gli autovalori dell’operatore $P_x$ .

Se risolviamo il problema agli autovalori

P_x\:|p_x,\xi\rangle=p_x\:|p_x,\xi\rangle

determiniamo gli autostati dell’operatore $|p_x,\xi\rangle$ e applicando il postulato quattro riusciamo a risolvere il nostro problema, cioè riusciamo a determinare la distribuzione di probabilità per la quantità di moto.

Ora generalizziamo i risultati raggiunti per la quantità di moto con il seguente importantissimo teorema:

A ogni grandezza fisica $g$ è associato un operatore hermitiano $G$ tale che:

Il valore medio della grandezza $g$ , quando il sistema si trova in uno stato rappresentato dal ket $|\psi\rangle$ , è dato dalla formula $\langle\psi|G|\psi\rangle$ ;

Gli autovalori dell’operatore $G$ sono tutti i possibili valori che può assumere la grandezza $g$ , e gli autovettori associati a un autovalore $g'$ rappresentano gli autostati della grandezza $g$ nei quali si ottiene con certezza il valore $g'$ .

Dimostrazione:

Consideriamo una grandezza $g$ , siano $g'$ i possibili valori della grandezza $g$ , e siano $|g',\xi\rangle$ i ket rappresentativi degli autostati della grandezza $g$ e del set di grandezze ausiliarie $\xi$ , allora l’operatore

G=\iint_{g'\:\xi}|g',\xi\rangle g'\langle g',\xi|\:d\xi\:dg'

è hermitiano e soddisfa i due punti dell’asserto. Per verificarlo basta seguire esattamente gli stessi passi che abbiamo seguito per l’operatore $P_x$ .

L’hermitianità si vede subito: coniugando e trasponendo l’integrale si scambiano il bra e il ket e si coniuga l’autovalore

G^+=\iint_{g'\:\xi}|g',\xi\rangle{g'}^*\langle g',\xi|\:d\xi\:dg'=G

e l’ultimo passaggio vale perché gli autovalori $g'$ sono numeri reali: sono i risultati di una misura.

Grandezze compatibili e grandezze incompatibili.

Supponiamo di voler eseguire una misura contemporanea di $x$ e di $p_x$ . Dopo una tale misura il sistema si dovrebbe portare in un autostato simultaneo delle grandezze $x$ e $p_x$ , e il ket di stato risultante dovrebbe essere un autoket degli operatori $X$ e $P_x$ , ma questo è impossibile. Infatti indicando con $|x,p_x,\xi\rangle$ un ipotetico autostato delle grandezze $x$ , $p_x$ e di un opportuno set di grandezze ausiliarie $\xi$ , abbiamo

\begin{aligned} XP_x|x,p_x,\xi\rangle & =xp_x|x,p_x,\xi\rangle \\ & =P_xX|x,p_x,\xi\rangle \end{aligned}

da cui

\left(XP_x-P_xX\right)|x,p_x,\xi\rangle=0

ma noi sappiamo che $(XP_x-P_xX)=i\hbar I$ , dunque abbiamo

\begin{aligned} i\hbar I|x,p_x,\xi\rangle & =0\Leftrightarrow \\ |x,p_x,\xi\rangle & =0 \end{aligned}

Concludiamo che l’autoket simultaneo degli operatori $X$ e $P_x$ non può esistere perché dovrebbe essere per forza nullo. Quindi non può essere possibile eseguire una misura precisa e contemporanea delle grandezze $x$ e $p_x$ , mentre invece è perfettamente possibile in altri casi, ad esempio con le grandezze $x$ , $p_y$ .

Prima di procedere con lo studio generalizziamo al caso continuo la formula che abbiamo dimostrato alla fine del primo paragrafo:

se $\xi$ è un insieme completo di grandezze osservabili, e $|\xi\rangle$ è l’insieme ortonormale degli “autoket” associati ai suoi autostati, allora abbiamo

\int_\xi|\xi\rangle\langle\xi|\:d\xi=I

Per chiarezza ripetiamo la dimostrazione: se moltiplichiamo l’integrale a sinistra per un generico ket $|\psi\rangle$ abbiamo

\left[\int_\xi|\xi\rangle\langle\xi|d\xi\right]|\psi\rangle=\int_\xi|\xi\rangle\left\langle\xi|\psi\right\rangle d\xi

essendo $\langle\xi|\psi\rangle$ le componenti del vettore $|\psi\rangle$ nella base $\{|\xi\rangle\}$ abbiamo

\left[\int_\xi|\xi\rangle\langle\xi|\:d\xi\right]|\psi\rangle=|\psi\rangle

che dovendo essere vera per ogni $|\psi\rangle$ , prova l’asserto.

Momento angolare.

Nella Fisica Classica il momento angolare rispetto a un polo O è definito dalla formula

L_o={\overline{r}}_o\wedge\overline{p}

Nello schema della Meccanica Quantistica la grandezza momento angolare dovrà essere coerente con la definizione classica.

Dunque per i valori medi dovremo avere:

\langle L_o\rangle=\langle{\overline{r}}_o\wedge\overline{p}\rangle

Per semplificare il lavoro ci conviene considerare le singole componenti, inoltre per non appesantire le notazioni ometteremo il pedice O.

\overline{L}=\overline{r}\wedge\overline{p}=\begin{vmatrix}\hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ x & y & z \\ p_x & p_y & p_z\end{vmatrix}=\hat{\imath}(yp_z-zp_y)+\hat{\jmath}(zp_x-xp_z)+\hat{k}(xp_y-yp_x)

Per le componenti abbiamo

\left\{\begin{gathered} L_x=\left(yp_z-zp_y\right) \\ L_y=\left(zp_x-xp_z\right) \\ L_z=\left(xp_y-yp_x\right) \end{gathered}\right.

Consideriamo la componente $L_z$ . Per avere accordo tra la Meccanica Classica e la Meccanica Quantistica dovremo avere:

\langle L_z\rangle=\langle xp_y\rangle-\langle yp_x\rangle

Concentriamo l’attenzione sul termine $\langle xp_y\rangle$

\langle xp_y\rangle=\int_{x,p_y}\rho(x,p_y)xp_y\:dxdp_y

Indichiamo con $|x,p_y,\xi\rangle$ un autoket rappresentativo di un autostato simultaneo delle grandezze $x$ , $p_y$ e del set di grandezze ausiliarie $\xi$ .

Questo autoket esiste perché x e p_y sono grandezze compatibili: è proprio l’esempio con cui si è chiuso il paragrafo precedente. Dalla stessa commutazione discende un secondo fatto che ci servirà: essendo XP_y = P_yX, il prodotto non dipende dall’ordine dei fattori ed è hermitiano, come dev’essere l’operatore di una grandezza fisica. Per xp_x non sarebbe stato vero né l’uno né l’altro, e la costruzione avrebbe richiesto un accorgimento in più.

Usando questi ket abbiamo

\begin{aligned} \rho(x,p_y,\xi) & =|\langle x,p_y,\xi|\psi\rangle|^2 \\ & =\langle\psi|x,p_y,\xi\rangle\langle x,p_y,\xi|\psi\rangle \end{aligned}

integrando rispetto alle variabili $\xi$ abbiamo

\rho(x,p_y)=\int_\xi\langle\psi|x,p_y,\xi\rangle\langle x,p_y,\xi|\psi\rangle d\xi

Quindi per il valore medio abbiamo

\langle xp_y\rangle=\int_{x,p_y}\left[\int_\xi\langle\psi|x,p_y,\xi\rangle\langle x,p_y,\xi|\psi\rangle\:d\xi\right]xp_y\:dx\:dp_y

ricordando che $XP_y\:|x,p_y,\xi\rangle=xp_y\:|x,p_y,\xi\rangle$ possiamo scrivere

\begin{aligned} & \langle xp_y\rangle \\ & \qquad=\int_{x,p_y}\int_\xi\langle\psi|XP_y|x,p_y,\xi\rangle\langle x,p_y,\xi|\psi\rangle\:d\xi\:dx\:dp_y \\ & \qquad=\langle\psi|XP_y\left[\int_{x,p_y}\int_\xi|x,p_y,\xi\rangle\langle x,p_y,\xi|\:d\xi\:dx\:dp_y\right]|\psi\rangle \end{aligned}

essendo

\iint|x,p_y,\xi\rangle\langle x,p_y,\xi|\:d\xi\:dx\:dp_y=I

abbiamo la formula finale

\langle xp_y\rangle=\langle\psi|XP_y|\psi\rangle

I passaggi sono analoghi per tutti gli altri termini, quindi otteniamo:

\left\{\begin{gathered} \langle L_x\rangle=\langle\psi|(YP_z-ZP_y)|\psi\rangle \\ \langle L_y\rangle=\langle\psi|(ZP_x-XP_z)|\psi\rangle \\ \langle L_z\rangle=\langle\psi|(XP_y-YP_x)|\psi\rangle \end{gathered}\right.

Dunque alla grandezza $L_z$ , per esempio, associamo l’operatore $L_z=XP_y-YP_x$ , e analogamente per le altre.

A questo punto abbiamo trovato un operatore che ci dà una formula per calcolare il valore medio del momento angolare nel formalismo della Meccanica Quantistica e che è in accordo con la formula della Meccanica Classica.

Questo stesso operatore ci può dare tutti i possibili valori che può assumere il momento angolare e gli autostati corrispondenti; per ottenere queste informazioni basta risolvere il problema agli autovalori

L_z|\psi\rangle=l_z|\psi\rangle

L’energia.

Come ultima grandezza di studio consideriamo l’energia.

Nel formalismo della Meccanica Classica, per una particella carica in un potenziale elettrico, abbiamo l’energia

E=qV+\frac{1}{2m}{\overline{p}}^2

quindi dobbiamo cercare un operatore che ci dia un valore medio coerente con questa formula classica

\begin{aligned} \langle E\rangle & =\left\langle qV+\frac{1}{2m}{\overline{p}}^2\right\rangle \\ & =q\langle V\rangle+\frac{1}{2m}\left\langle{\overline{p}}^2\right\rangle \end{aligned}

Ma noi un operatore simile lo abbiamo già, ed è H, infatti

\begin{aligned} \langle\psi|H|\psi\rangle & =\langle\psi|\left(qV(X)+\frac{1}{2m}{\overline{P}}^2\right)|\psi\rangle \\ & =q\langle\psi|V(X)|\psi\rangle+\frac{1}{2m}\langle\psi|{\overline{P}}^2|\psi\rangle \\ & =q\langle V\rangle+\frac{1}{2m}\langle{\overline{P}}^2\rangle \end{aligned}

Quindi se vogliamo trovare i valori che può assumere l’energia, e gli autostati in cui si porta la particella dopo una misura dell’energia, allora dobbiamo risolvere il seguente problema agli autovalori:

\begin{aligned} H|\psi\rangle & =E|\psi\rangle\Leftrightarrow \\ \left(qV(X)+\frac{1}{2m}{\overline{P}}^2\right)|\psi\rangle & =E|\psi\rangle \end{aligned}

Livelli energetici per l’atomo di idrogeno.

L’atomo di idrogeno è costituito da un nucleo con carica uguale e opposta a quella dell’elettrone, e da un unico elettrone orbitante.

Per determinare il moto dell’elettrone attorno al nucleo si deve risolvere l’equazione di Schrödinger, mentre se si vogliono determinare i valori che può assumere l’energia dell’atomo, basta risolvere il problema agli autovalori che abbiamo posto nel precedente paragrafo nel caso in cui abbiamo un potenziale coulombiano $V(r)=e/(4\pi\varepsilon_0 r)$ , dove e è la carica del nucleo, uguale e opposta alla carica q dell’elettrone che compare in H.

L’energia può assumere solo dei valori discreti dati dalla formula

E_n=-\frac{me^4}{8\varepsilon_0^2h^2n^2}

Nota 07 Il calcolo che porta a questa formula, per intero: l’approfondimento →