Corso introduttivo
Esperimenti fondamentali della Meccanica Quantistica
L’equazione di Schrödinger dedotta da quattro principi e da una misura sperimentale.
Introduzione
Un fascio di elettroni attraversa un sottile strato cristallino e produce su uno schermo una serie di anelli: una figura di diffrazione, caratteristica delle onde. La descrizione classica del moto degli elettroni non spiega questa figura. Associare agli elettroni un’onda permette di interpretarla, ma pone un altro problema: quale equazione descrive quell’onda, e come possiamo ricavarla?
Per una particella non relativistica in un potenziale elettrico statico, ricaviamo l’equazione di Schrödinger senza assumerla come punto di partenza. Il lavoro si concentra nelle schede 3, 4 e 5: seguendone i passaggi vediamo quali proprietà della legge dipendono dai principi e dove occorre una misura.
Nelle schede 6 e 7 usiamo l’equazione per calcolare la distribuzione delle particelle diffuse nell’esperimento di Rutherford e confrontarla con le misure. Più avanti studiamo i valori di energia consentiti all’atomo di idrogeno e il loro rapporto con le frequenze della luce che emette.
I quattro principi
Assumiamo quattro principi:
- Funzione complessa. Lo stato di una particella è descritto da una funzione che a ogni posizione associa un numero complesso. Le probabilità di trovare la particella nelle diverse regioni dello spazio sono proporzionali alle somme, su ciascuna regione, dei moduli quadri della funzione.
- Sovrapposizione lineare. Due stati si possono combinare, ciascuno con un coefficiente complesso, e la combinazione è ancora uno stato. Lo stato evolve nel tempo con continuità e, nell’evoluzione, ogni termine evolve come evolverebbe da solo, con lo stesso coefficiente, e lo stato successivo è la somma dei termini evoluti.
- Conservazione del totale. Finché il sistema non viene osservato, la somma dei moduli quadri su tutte le posizioni non cambia durante l’evoluzione.
- Accordo con Newton. Nelle condizioni in cui la meccanica di Newton è verificata dall’esperienza, la teoria deve dare le stesse previsioni (F = ma).
I primi tre fissano la forma generale dell’equazione di evoluzione. Il quarto guida la ricerca di una legge che descriva l’effetto delle forze sulla particella. Nella legge ottenuta rimane una costante che i principi non determinano: ne ricaviamo il valore dalla misura della diffrazione degli elettroni e la identifichiamo con la costante di Planck.
Come leggere il sito
Le tredici schede richiedono la conoscenza della meccanica di Newton, dell’elettromagnetismo e del calcolo differenziale e integrale, ma non della Meccanica Analitica. Il percorso è pensato per studenti del terzo anno di Ingegneria.
Le prime due schede presentano gli esperimenti con gli elettroni e la diffrazione; la terza introduce i numeri complessi e i vettori necessari alla deduzione. La teoria va letta in ordine. Possiamo seguirne prima le ipotesi e le conclusioni, poi tornare sui calcoli e sulle dimostrazioni raccolte nelle note. Chi comincia dalle schede sperimentali può riprendere dalla terza per capire come si ottengono le previsioni.
Gli esperimenti
Gli esperimenti con gli elettroni, la diffrazione, la diffusione di Rutherford, Franck-Hertz, l’effetto fotoelettrico e gli spettri di emissione sono stati realizzati in laboratorio. Per Stern-Gerlach l’apparato è stato progettato al LAFIDIN, ma non costruito. Gli esperimenti in cascata sono mentali: illustrano i primi tre principi senza dimostrarli.
I laboratori virtuali interattivi permettono di variare i parametri e osservare le previsioni dei modelli. Affiancano le schede, senza sostituire le misure sperimentali.
L’origine del lavoro
Il materiale nasce da una tesi di laurea del 1999. Gli esperimenti furono eseguiti con apparecchiature LEYBOLD presso il laboratorio didattico LAFIDIN e nella «sala dimostrazioni» della LEYBOLD DIDACTIC a Milano. La trattazione di Stern-Gerlach in cascata si ispira a R. P. Feynman (The Feynman Lectures on Physics, vol. III), con formalismo e rappresentazioni grafiche diversi.
L’edizione web riordina le nove schede originali, separa alcune parti sperimentali e teoriche e aggiunge quella sui numeri complessi e sui vettori di stato. Le modifiche sono descritte nella nota Che cosa è cambiato dal 1999.
Crediti
Tesi di Laurea in Ingegneria Elettrica. Università degli Studi di Napoli «Federico II», Facoltà di Ingegneria. Laboratorio didattico LAFIDIN (LAboratorio FIsico Didattico INgegneria). Anno accademico 1998/1999.
Relatori: Prof. Scipione Bobbio, Prof. Carlo Luponio.
Candidato: Faustino Palma (matricola 44/956).
Contatti: Faustino Palma su LinkedIn.
Lavoro presentato all’85° Congresso Nazionale della Società Italiana di Fisica (SIF), Pavia, settembre 1999 (prof. C. Luponio, prof. G. Mastrocinque, F. Palma [autore], «La formulazione della fisica quantistica attraverso esperimenti eseguiti ed interpretati teoricamente»).