Tesi di Laurea

Esperimenti fondamentali della Meccanica Quantistica

Gli esperimenti che hanno reso inevitabile la teoria — e l’equazione di Schrödinger dedotta da quattro principi, senza postularla.

Introduzione

Perché un fascio di atomi d’argento, attraversando un magnete, si divide esattamente in due? Perché gli elettroni, sparati contro un cristallo, disegnano figure di diffrazione come se fossero onde? All’inizio del Novecento una serie di esperimenti mise in crisi la fisica classica e costrinse a costruire una teoria nuova: la Meccanica Quantistica.

Questo sito ripercorre quegli esperimenti — eseguiti in laboratorio, non solo raccontati — e mostra come, partendo da essi, la teoria si possa costruire un principio alla volta, fino a dedurre l’equazione di Schrödinger invece di postularla. I soli prerequisiti sono la meccanica di Newton e l’elettromagnetismo.

L’origine di questo lavoro

Questo materiale nasce come tesi di laurea: l’obiettivo era eseguire gli esperimenti fondamentali della Meccanica Quantistica e preparare, a partire dalla loro analisi, un percorso didattico che introducesse le basi concettuali della teoria. Il lavoro è stato presentato all’85° Congresso Nazionale della Società Italiana di Fisica (SIF), tenutosi a Pavia nel settembre 1999 (comunicazione: prof. C. Luponio, prof. G. Mastrocinque, F. Palma [autore], «La formulazione della fisica quantistica attraverso esperimenti eseguiti ed interpretati teoricamente»).

Risale al 1999, ma tratta esperimenti e principi fondamentali della fisica, immutati da allora: il contenuto è pienamente attuale.

Gli esperimenti

Gli esperimenti — quelli con gli elettroni, la diffrazione degli elettroni, la diffusione di Rutherford, Franck-Hertz, l’effetto fotoelettrico, gli spettri atomici di emissione — sono stati realizzati con apparecchiature LEYBOLD, in parte presso il laboratorio didattico LAFIDIN e in parte a Milano, nella «sala dimostrazioni» della LEYBOLD DIDACTIC. In questa edizione web, ogni esperimento è inoltre accompagnato da un laboratorio simulato interattivo, in cui si possono variare i parametri e osservare come cambiano i risultati.

Il percorso si apre con l’esperimento di Stern-Gerlach, il punto d’ingresso concettualmente più pulito nel comportamento quantistico. Per questo esperimento è stato progettato da zero un apparato all’interno del laboratorio LAFIDIN — e costruirlo con un budget da studente si rivelò una storia a sé, fatta di un forno a 1000 °C, un vuoto impossibile e, nella versione originale del 1922, un assegno di uno dei fondatori di Goldman Sachs. Quella storia è raccontata nella nota dietro le quinte del Capitolo 1; la scheda presenta il progetto completo e ne analizza il funzionamento su base teorica, mentre il laboratorio simulato permette di esplorare in prima persona i parametri di progetto — e di scoprire quanto è facile romperlo.

La teoria: quattro principi e una misura

La parte teorica costituisce un’introduzione alla Meccanica Quantistica, trattata fin dall’inizio con le notazioni di Dirac. Il risultato principale è la deduzione dell’equazione di Schrödinger: non viene postulata, ma ricavata da un set di principi elementari e dalla richiesta di coerenza con l’equazione di Newton nel campo di applicabilità di quest’ultima. La deduzione si può enunciare in modo intuitivo, costruendola con un principio alla volta e nel caso particolare di una particella che si muove nel vuoto sotto forze elettromagnetiche:

1. Funzione complessa. Lo stato di una particella è descritto da una funzione che a ogni posizione associa un numero complesso. Le probabilità di trovare la particella nelle diverse regioni dello spazio sono proporzionali alle somme, su ciascuna regione, dei moduli quadri della funzione.
2. Sovrapposizione lineare. Due stati si possono combinare, ciascuno con un coefficiente complesso, e la combinazione è ancora uno stato. Lo stato evolve nel tempo con continuità e, nell’evoluzione, ogni termine evolve come evolverebbe da solo, con lo stesso coefficiente, e lo stato successivo è la somma dei termini evoluti.
3. Conservazione del totale. Finché il sistema non viene osservato, la somma dei moduli quadri su tutte le posizioni non cambia durante l’evoluzione.→ Questi tre principi, insieme, bastano a fissare la forma generale dell’equazione di evoluzione. Non dicono ancora come vi entrino le forze che agiscono sulla particella.
4. Accordo con Newton. Nelle condizioni in cui la meccanica di Newton è verificata dall’esperienza — corpi sufficientemente grandi e pesanti — la teoria deve dare le stesse previsioni (F = ma).→ Imponendo questa richiesta, l’equazione di Schrödinger compare nella sua interezza, e con essa una costante nuova, estranea alla fisica classica. Il suo valore lo fornisce un esperimento interamente quantistico, la diffrazione di un fascio di elettroni attraverso un sottile strato cristallino: la costante risulta coincidere con la celebre costante di Planck.

Da questi quattro principi, e da una misura, si deduce l’equazione di Schrödinger, senza doverla postulare e senza ricorrere alla Meccanica Analitica.

L’introduzione ai numeri complessi e ai principi della Meccanica Quantistica attraverso gli esperimenti di Stern e Gerlach in cascata si ispira alla trattazione di R. P. Feynman (The Feynman Lectures on Physics, vol. III); qui però è stata riformulata con un formalismo un po’ diverso e con rappresentazioni grafiche originali, pensate per risultare più intuitive.

Tutta la trattazione è indipendente dalla Meccanica Analitica: si appoggia solo sulla teoria di Newton e sull’elettromagnetismo e risulta perciò — pur restando un tema non semplicissimo — accessibile agli studenti del terzo anno di Ingegneria.

Come leggere il sito

Il lavoro è diviso in nove «schede»; ogni scheda contiene una parte sperimentale accompagnata da una parte teorica. Le schede seguono un percorso progressivo: le prime due (Stern-Gerlach e Stern-Gerlach in cascata) introducono i concetti fondamentali e i numeri complessi con rappresentazioni grafiche originali, e sono accessibili anche senza matematica avanzata. La cascata è un esperimento mentale: la sua realizzazione in laboratorio è arrivata solo di recente, e una nota della scheda due la racconta. Nelle schede successive il formalismo cresce gradualmente, fino alla deduzione dell’equazione di Schrödinger. La lettura in ordine è consigliata, ma la parte sperimentale di ogni scheda resta autonoma.

Crediti

Tesi di Laurea in Ingegneria Elettrica — Università degli Studi di Napoli «Federico II», Facoltà di Ingegneria. Laboratorio didattico LAFIDIN (LAboratorio FIsico Didattico INgegneria). Anno accademico 1998/1999.

Relatori: Prof. Scipione Bobbio, Prof. Carlo Luponio · Candidato: Faustino Palma (matricola 44/956).

Contatti: Faustino Palma su LinkedIn ↗

Lavoro presentato all’85° Congresso Nazionale della Società Italiana di Fisica (SIF), Pavia, settembre 1999 (prof. C. Luponio, prof. G. Mastrocinque, F. Palma [autore], «La formulazione della fisica quantistica attraverso esperimenti eseguiti ed interpretati teoricamente»).