Capitolo 3

Numeri complessi e vettori di stato

Nella scheda precedente gli elettroni hanno disegnato anelli di diffrazione, e per spiegarli abbiamo dovuto associare al fascio un’onda. Per scrivere l’equazione di quell’onda ci serve un sistema di numeri: qui vediamo quale scegliere, e mettiamo insieme le regole di calcolo che adopereremo dalla scheda seguente in poi.

Quali numeri usiamo

Esistono diversi tipi di numeri con caratteristiche simili ai numeri reali. Quello che ci serve è un’algebra di divisione normata sui numeri reali.

Che cosa dice il nome

Algebra vuol dire che i numeri si possono sommare e moltiplicare. Della somma vogliamo quello che vale per i numeri reali: l’ordine degli addendi non conta, esiste lo zero, ogni numero ha il suo opposto. Del prodotto vogliamo che si distribuisca sulla somma e che i fattori reali si possano portare fuori: moltiplicare $x$ per il doppio di $u$ deve dare il doppio di $xu$. Vogliamo inoltre che esista il numero $1$: un numero che, moltiplicato per qualunque altro, lo lascia com’è.

Di divisione vuol dire che si può dividere per qualunque numero diverso da zero. Risolvere $ax=b$ vuol dire dividere i due membri per $a$: se per qualche numero diverso da zero la divisione non si potesse fare, quell’equazione resterebbe senza soluzione. Non è un caso di scuola. Nell’aritmetica dell’orologio a dodici ore $2\cdot 6$ fa $12$, che sull’orologio è lo zero, pur non essendo zero né $2$ né $6$. Chiedere che si possa sempre dividere è chiedere che questo non succeda.

Normata vuol dire che ogni numero a ha un modulo, un numero reale non negativo che indichiamo con $|a|$, e che il modulo di un prodotto è il prodotto dei moduli; «norma» è il nome che i matematici danno al modulo. Fra i numeri reali il modulo è il valore assoluto e la regola vale già: $|ab|=|a|\,|b|$. Quando un numero è fatto di più componenti reali prendiamo come modulo la distanza ordinaria dall’origine, $\sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}$: è quello che si fa già con i complessi, dove $|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2}$. È la proprietà che restringe di più il campo.

Sui numeri reali vuol dire che ogni numero dell’algebra è fatto di una o più componenti reali, e che i coefficienti con cui lo moltiplichiamo sono numeri reali.

Quante possibilità abbiamo?

Quanti numeri reali servono per scrivere un numero dell’algebra: è questo che chiamiamo dimensione. Un numero reale ha dimensione 1. Un numero complesso $a+ib$ ha dimensione 2, perché per darlo occorrono i due reali $a$ e $b$. Se esistessero numeri fatti di tre reali, la loro algebra avrebbe dimensione 3.

Ci si aspetterebbe di poterne costruire una per ogni dimensione. Non è così: il matematico Adolf Hurwitz ha dimostrato che le algebre di questo tipo sono soltanto quattro:

La terza colonna va letta in modo cumulativo. Le quattro proprietà di partenza — somma, prodotto, divisione, modulo — valgono in tutte e quattro le algebre: è ciò che le rende algebre di divisione normate. Ma ogni volta che si sale di dimensione si perde una proprietà che nell’algebra precedente valeva ancora, e le perdite si trascinano dietro: i numeri reali hanno tutto; i complessi hanno tutto tranne l’ordinamento; i quaternioni hanno perso anche la commutatività; gli ottonioni anche l’associatività.

Vediamo ora che cosa significa ciascuna perdita.

L’ordinamento. Fra due numeri reali possiamo sempre dire quale sia il maggiore, e la relazione va d’accordo con le operazioni: sommare la stessa quantità a due numeri non ne cambia l’ordine, e il prodotto di due positivi è positivo. Fra i numeri complessi un ordinamento così non esiste: chiedersi se $2+3i$ sia maggiore o minore di $3+2i$ non ha senso. È una perdita che possiamo permetterci, perché i numeri che leggiamo sugli strumenti restano reali, e quelli si ordinano ancora.

In cambio della perdita c’è un guadagno, e conviene dirlo subito perché più avanti sarà decisivo: nel campo complesso ogni equazione polinomiale non costante ha almeno una soluzione. Nei reali non è così — $x^2+1=0$ non ne ha — ed è proprio per risolverla che $i$ è nato. Questa proprietà si chiama chiusura algebrica, i complessi sono la più piccola estensione dei reali che la possiede, e fra le quattro algebre sono i soli ad averla.

La commutatività. I quaternioni hanno una parte reale e tre unità immaginarie, $i$, $j$, $k$: si scrivono $a+bi+cj+dk$, e Hamilton li trovò nel 1843. Il loro prodotto dipende dall’ordine dei fattori: $ij=k$, ma $ji=-k$. Chi li adopera deve dire ogni volta da quale parte moltiplica, e ogni regola si sdoppia in una versione destra e una sinistra. Non sono una curiosità: sono il modo consueto di rappresentare le rotazioni nello spazio, e si usano nella grafica al calcolatore, nella robotica e nel controllo d’assetto dei satelliti. Lì la non commutatività è un pregio, perché nemmeno le rotazioni commutano: due rotazioni eseguite in ordine diverso portano in posizioni diverse.

L’associatività. Gli ottonioni hanno otto componenti, una reale e sette immaginarie. In essi cambia anche il modo di raggruppare i fattori: $(ab)c$ e $a(bc)$ possono essere diversi, e passaggi che di solito facciamo senza pensarci vanno rifatti da capo. Fuori dalla matematica non hanno un impiego consolidato: compaiono in alcuni tentativi di fisica teorica, ma nulla di stabilito.

Tirando le somme: i numeri complessi sono l’ultima algebra in cui il prodotto resta commutativo e associativo, l’unica proprietà che vi perdiamo è l’ordinamento, di cui non abbiamo bisogno, e in cambio guadagniamo la chiusura algebrica.

Le onde ci indicano i complessi

Nella scheda sulla diffrazione degli elettroni abbiamo visto che a un fascio di elettroni dobbiamo associare un’onda. Per descrivere un’onda l’ampiezza non basta: due onde della stessa ampiezza possono rinforzarsi o cancellarsi a seconda di come sono sfasate, e sono proprio queste cancellazioni a formare gli anelli sullo schermo. Ogni onda porta dunque due informazioni, l’ampiezza e la fase, e la seconda conta quanto la prima.

Un numero complesso porta esattamente due informazioni: il modulo e l’angolo che il punto $a+ib$ forma con l’asse reale, detto argomento. Chiamandoli $A$ e $\phi$,

e l’ultima uguaglianza è la formula di Eulero. Scriviamo l’onda reale

come parte reale di

Il solo fattore $Ae^{i\phi}$ tiene insieme ampiezza e fase. E le operazioni che ci servono diventano prodotti: sfasare significa moltiplicare per un numero di modulo uno; derivare rispetto al tempo, per un’onda di frequenza definita, significa moltiplicare per $-i\omega$. Soprattutto, sommare due onde diventa sommare due numeri complessi, e la somma tiene conto da sé della fase relativa.

Il passaggio alla parte reale è lecito perché le equazioni che scriviamo sono lineari e a coefficienti reali. Tutto ciò non riguarda soltanto le onde quantistiche: vale per il suono, per la luce, per le correnti alternate.

Un solo campo elettromagnetico

I numeri complessi non sono indispensabili per l’elettromagnetismo classico, ma mostrano la loro utilità anche lì. Le equazioni di Maxwell nel vuoto, con le cariche e le correnti al loro posto, sono

dove $\rho$ è la densità di carica, $\mathbf J$ la densità di corrente, $c$ la velocità della luce nel vuoto, e le due costanti del vuoto sono legate dalla relazione $\varepsilon_0\mu_0c^2=1$.

Poniamo

Il fattore $c$ dà a $\mathbf E$ e $c\mathbf B$ le stesse dimensioni. La parte reale di $\mathbf F$ è il campo elettrico, la parte immaginaria divisa per $c$ è il campo magnetico. Le due equazioni di divergenza diventano una sola equazione complessa,

mentre le due equazioni di evoluzione diventano

Per verificarlo basta sostituire la definizione di $\mathbf F$ e separare le due parti. Nella prima equazione la parte reale dà la legge di Gauss e la parte immaginaria dice che il campo magnetico non ha sorgenti; nella seconda la parte reale dà la legge di Faraday e la parte immaginaria la legge di Ampère-Maxwell. Il vettore complesso $\mathbf F$ è detto vettore di Riemann-Silberstein. Le quattro equazioni sono diventate due, sorgenti comprese, e l’elettrico e il magnetico stanno in un solo campo.

Qui i campi misurabili restano reali: il numero complesso non cambia l’elettromagnetismo, ne accorcia la scrittura. Lo stesso vantaggio si ritrova nei circuiti in corrente alternata, dove resistenza e reattanza formano l’impedenza complessa $Z=R+iX$.

Il problema agli autovalori

C’è un’ultima ragione, e nella nostra trattazione è la più concreta. Vedremo che a ogni grandezza osservabile corrisponde una matrice, e che i valori che quella grandezza può assumere sono gli autovalori di quella matrice. Un autovalore è un numero $\lambda$ per cui esiste un vettore non nullo che la matrice si limita a moltiplicare per $\lambda$, senza cambiarne la direzione; per trovarli si risolve un’equazione polinomiale.

Nel campo reale un’equazione polinomiale può non avere soluzioni. La matrice che ruota il piano di un angolo retto non ha alcun autovalore reale, e si capisce perché: ruotando di novanta gradi nessuna direzione resta al suo posto. Se lavorassimo con i soli numeri reali dovremmo accettare che certe grandezze non abbiano alcun valore possibile.

Nel campo complesso questo non accade mai: è la chiusura algebrica che abbiamo anticipato, nota anche come teorema fondamentale dell’algebra — ogni polinomio non costante ha almeno una radice. È qui che quel guadagno si incassa: scegliendo i complessi ci assicuriamo che il problema agli autovalori abbia sempre soluzione.

Ricapitolando: fra le quattro algebre possibili i numeri complessi sono l’ultima in cui il prodotto resta commutativo e associativo; tengono in una sola quantità l’ampiezza e la fase di un’onda; raccolgono in un solo campo l’elettrico e il magnetico; garantiscono che il problema agli autovalori abbia soluzione.

Vettori, bra e ket

Preso un numero complesso c=a+ib indicheremo il suo complesso coniugato con il simbolo c^*=a-ib (c^* si legge “ci star”). Il prodotto cc^*=a²+b² è un numero reale positivo e viene chiamato modulo quadro di c.

Consideriamo ora un vettore colonna $\left(\begin{gathered} \alpha_1 \\ \alpha_2 \end{gathered}\right)$, dove $\alpha_1$ e $\alpha_2$ sono due numeri complessi: ogni componente del vettore è un numero complesso, e ogni numero complesso è a sua volta fatto di due numeri reali. Cominciamo da due componenti perché gli esempi restino semplici; le componenti possono essere quante si vuole, e per un’onda su una retta sono infinite. Possiamo definire il duale di questo vettore colonna con il vettore riga $(\alpha_1^*,\alpha_2^*)$. In questo modo il prodotto tra il vettore e il suo duale

da un numero reale positivo che viene chiamato modulo quadro del vettore.

Se abbiamo uno stato fisico α, indicheremo il vettore a esso associato con il simbolo $|\alpha\rangle$

e indicheremo il suo duale con il simbolo $\langle\alpha|$

I simboli $\langle\;|$ e $|\;\rangle$ vengono chiamati rispettivamente bra e ket perché unendo questi nomi si ottiene la parola “bracket” che in inglese vuol dire parentesi. Li abbiamo introdotti perché ci permettono di distinguere tra righe e colonne, e ci rendono molto chiara la lettura di espressioni in cui compaiono prodotti matriciali.

Ad esempio possiamo avere

oppure possiamo avere

Questi due prodotti sono completamente differenti, in un caso abbiamo un vettore riga per uno colonna e otteniamo un numero, nell’altro caso abbiamo un vettore colonna per uno riga e otteniamo una matrice.

Prodotto scalare.

Dati due vettori $|\alpha\rangle$ e $|\beta\rangle$ il prodotto

viene chiamato prodotto scalare tra $|\alpha\rangle$ e $|\beta\rangle$.

Ricordiamo che nel campo reale il prodotto scalare tra due vettori reali $|\alpha\rangle$ e $|b\rangle$ viene definito senza il complesso coniugato:

Osserviamo, prima di tutto, che le due definizioni sono compatibili, perché il complesso coniugato di un numero reale è il numero stesso a^*=a. Quindi la definizione data nel campo complesso si riduce a quella data nel campo reale se i vettori a cui si applica sono reali.

Tuttavia può rimanere un dubbio, perché nel campo complesso non definiamo il prodotto scalare semplicemente senza il complesso coniugato

$\langle\alpha|\beta\rangle=(\alpha_1,\alpha_2)\left(\begin{gathered} \beta_1 \\ \beta_2 \end{gathered}\right)=\alpha_1\beta_1+\alpha_2\beta_2$ ?

La risposta è molto semplice, questa definizione non gode di alcune proprietà molto importanti. Ad esempio, con questa definizione il prodotto di un vettore per se stesso $\langle\alpha|\alpha\rangle$ non è detto che sia un numero reale quindi si perde il concetto di modulo. Inoltre in alcuni casi il prodotto $\langle\alpha|\alpha\rangle$ potrebbe essere nullo senza che il vettore $|\alpha\rangle$sia nullo, ad esempio se

abbiamo

invece con la definizione corretta

Per concludere questa digressione vediamo quali sono le proprietà fondamentali del prodotto scalare in uno spazio complesso:

Decomposizione di vettori.

per definizione diremo che due vettori $|\alpha\rangle$ e $|\beta\rangle$ sono ortogonali se è nullo il loro prodotto scalare

Teorema: se n vettori non nulli $|\alpha_1\rangle\cdots|\alpha_n\rangle$ sono a due a due ortogonali

allora questi n vettori sono linearmente indipendenti, cioè nessuno di loro può essere ottenuto come combinazione lineare degli altri.

Dimostrazione: per assurdo supponiamo che un vettore, ad esempio il primo, è combinazione degli altri

moltiplichiamo scalarmente a destra per $\langle\alpha_1|$

essendo i vettori per ipotesi ortogonali, abbiamo che tutti i termini al secondo membro sono nulli, quindi

ma questo è assurdo perché i vettori sono tutti non nulli.

Ora supponiamo di avere uno spazio vettoriale n dimensionale, e di dover scegliere una base per questo spazio. Come è noto, si può scegliere una qualsiasi n-upla di vettori linearmente indipendenti, ma è molto comodo scegliere questi vettori in modo che siano ortogonali tra di loro e in modo che abbiano modulo unitario $\langle\alpha_k|\alpha_k\rangle=1$. Infatti così facendo diventa molto semplice calcolare le componenti di un generico vettore $|v\rangle$. Vediamo come:

Prendiamo un vettore $|v\rangle$ e una base di vettori ortogonali di modulo unitario

$|v\rangle$ può essere scritto come combinazione lineare dei vettori $|\alpha_1\rangle\cdots|\alpha_n\rangle$

per calcolare il coefficiente c_k moltiplichiamo questa espressione a sinistra per $\langle\alpha_k|$

essendo i vettori di base a due a due ortogonali si ha

essendo $|\alpha_k\rangle$ di modulo unitario abbiamo

Quindi ci rimane la formula per calcolare c_k

la componente di $|v\rangle$ lungo il vettore di base $|\alpha_k\rangle$ è data dal prodotto scalare tra questi due vettori.

Queste sono le regole che adopereremo: il prodotto scalare, l’ortogonalità e la componente di un vettore lungo un vettore di base. L’algebra degli spazi vettoriali complessi ha molti altri sviluppi, che introdurremo quando serviranno.