Una domanda in sospeso Perché non un’algebra a tre dimensioni?

Una domanda è rimasta in sospeso: viviamo in uno spazio a tre dimensioni, perché nell’elenco delle quattro algebre il 3 non c’è? Non è una curiosità. Hamilton passò anni a cercare numeri fatti di tre componenti, e si arrese soltanto quando provò con quattro.

La risposta viene da un teorema dal nome pittoresco, il teorema della palla pelosa (L. E. J. Brouwer, 1912), che di numeri non parla affatto: parla di peli su una sfera. Vediamo prima che cosa dice, poi che cosa c’entra.

Piantiamo un pelo in ogni punto della superficie di una sfera e chiediamo tre cose: che ogni pelo sia aderente, cioè punti in una direzione tangente alla superficie; che passando da un punto a quelli vicini la direzione cambi con continuità, senza scatti; e che in nessun punto il pelo manchi. Quello che stiamo descrivendo i matematici lo chiamano un campo vettoriale tangente, continuo e mai nullo; noi diremo che la sfera è pettinata. Il teorema afferma che sulla sfera una pettinatura così non esiste: comunque si dispongano i peli, resta almeno un punto calvo, una chierica.

La dimostrazione non la diamo, ma il risultato si lascia intuire. Immaginiamo di pettinare la sfera lungo i meridiani, tutti i peli dal polo nord verso il polo sud: la pettinatura riesce ovunque, tranne che ai due poli, dove i meridiani convergono e la direzione da scegliere non c’è. Lì restano due chieriche. Spostiamo i peli come vogliamo e le chieriche si spostano con loro, ma non spariscono: si possono ridurre a una sola, mai a nessuna.

Il legame con la nostra domanda passa per i numeri di modulo 1. Un numero di un’algebra di dimensione 3 è fatto di tre numeri reali, quindi lo possiamo vedere come un punto dello spazio, o come il vettore che va dall’origine a quel punto: da qui in avanti useremo le due parole per la stessa cosa, e il prodotto dell’algebra si applica a questi vettori come a qualunque altro numero. I numeri di modulo 1 sono allora i punti a distanza 1 dall’origine, cioè la superficie di una sfera ordinaria, e sono quelli per cui moltiplicare non cambia le grandezze. Osserviamo infine che la sfera è centrata nell’origine, e che su una sfera così essere tangente in un punto vuol dire essere perpendicolare a quel punto.

Il ragionamento ha questa forma. Supponiamo che l’algebra a tre dimensioni esista. Faremo vedere che allora la sua sfera si lascia pettinare; ma il teorema dice che non si lascia pettinare. L’ipotesi porta a una conclusione falsa, dunque è falsa l’ipotesi: quell’algebra non esiste. Resta da dimostrare il primo passaggio, ed è quello che facciamo ora.

Il punto $1$ sta sulla sfera. Lì piantiamo il primo pelo: scegliamo una direzione tangente qualunque, cioè un vettore $v$ non nullo perpendicolare a $1$. È l’unica scelta che facciamo a mano; tutti gli altri peli verranno da questa.

Prendiamo poi un punto qualunque della sfera, cioè un numero $u$ di modulo 1, e consideriamo l’operazione che a ogni $x$ associa $xu$. È lineare, perché il prodotto si distribuisce sulla somma e i fattori reali si portano fuori. E non cambia i moduli, perché $|xu|=|x|\,|u|=|x|$: avendo preso il modulo uguale alla distanza dall’origine, conserva tutte le distanze. È dunque una trasformazione rigida dello spazio, e come tale conserva anche gli angoli. Porta la sfera in sé stessa, e porta il punto $1$ nel punto $u$.

Al punto $u$ piantiamo allora il pelo $vu$, il prodotto di $v$ per $u$, che è l’immagine di $v$ in quella trasformazione. È aderente: $v$ è perpendicolare a $1$ e gli angoli si conservano, quindi $vu$ è perpendicolare a $u$. Non manca mai: se $vu$ fosse zero avrebbe modulo zero, ma $|vu|=|v|\neq 0$. E cambia con continuità, perché $vu$ dipende da $u$ in modo lineare. Al variare di $u$ su tutta la sfera i peli ci sono tutti, aderenti e continui: la sfera è pettinata, senza chieriche.

Ma la sfera non si pettina, e l’ipotesi cade con lei: l’algebra a tre dimensioni non esiste. Hamilton stava cercando una cosa che non c’era.

Il ragionamento vale in un senso solo. Sulla circonferenza i peli si dispongono senza difficoltà, tutti nello stesso verso di percorrenza, ma questo non dimostra che l’algebra di dimensione 2 esista: dice soltanto che in dimensione 2 l’ostacolo non c’è. Che i numeri complessi esistano lo sappiamo perché li abbiamo davanti.

Devo però dire fin dove arrivo io. Di questa nota abbiamo dimostrato una cosa sola: che se l’algebra esiste, la sua sfera si pettina. Il teorema della palla pelosa lo abbiamo preso per acquisito, e lo stesso vale per il teorema di Hurwitz, da cui viene la tabella delle quattro algebre della scheda. Dietro a entrambi c’è una matematica vasta: topologia algebrica, teoria dei fibrati, cose che si studiano per anni e che io non conosco. Mi limito a riportare le conclusioni di chi le ha costruite: le strade percorribili sono quattro, e per la scelta che dobbiamo fare questo basta. Spero di poterle studiare, un giorno.