Algebre di divisione normate Perché non un’algebra a tre dimensioni?

Hamilton cercò a lungo un sistema di numeri con tre componenti reali, prima di trovare i quaternioni. Per capire perché tre componenti non bastano possiamo usare un risultato della topologia.

Il teorema della palla pelosa (L. E. J. Brouwer, 1912) afferma che sulla superficie di una sfera non esiste un campo vettoriale tangente, continuo e mai nullo. Possiamo rappresentare i vettori come peli aderenti alla superficie: pettinare la sfera significa disporli in modo che la loro direzione cambi con continuità da un punto all’altro. Il teorema dice che non possiamo farlo senza che almeno uno di questi vettori si annulli.

Per esempio, disponendo i peli lungo i meridiani, dal polo nord verso il polo sud, ai poli non troviamo una direzione tangente definita. Il teorema assicura che anche con altre disposizioni resta almeno un punto in cui il campo si annulla; qui ne assumiamo il risultato senza dimostrarlo.

Supponiamo che esista un’algebra di divisione normata di dimensione 3, con il modulo euclideo definito nella scheda. Ogni suo numero ha tre componenti reali: possiamo rappresentarlo come un punto dello spazio o come il vettore dall’origine a quel punto. I numeri di modulo 1 formano la superficie di una sfera centrata nell’origine. Un vettore tangente alla sfera in un punto è perpendicolare al vettore che individua quel punto.

Il punto $1$ sta sulla sfera. Lì piantiamo il primo pelo: scegliamo una direzione tangente qualunque, cioè un vettore $v$ non nullo perpendicolare a $1$. È l’unica scelta che facciamo a mano; tutti gli altri peli verranno da questa.

Prendiamo poi un punto qualunque della sfera, cioè un numero $u$ di modulo 1, e consideriamo l’operazione che a ogni $x$ associa $xu$. È lineare, perché il prodotto si distribuisce sulla somma e i fattori reali si portano fuori. E non cambia i moduli, perché $|xu|=|x|\,|u|=|x|$: avendo preso il modulo uguale alla distanza dall’origine, conserva tutte le distanze. È dunque una trasformazione rigida dello spazio, e come tale conserva anche gli angoli. Porta la sfera in sé stessa, e porta il punto $1$ nel punto $u$.

Al punto $u$ piantiamo allora il pelo $vu$, il prodotto di $v$ per $u$, che è l’immagine di $v$ in quella trasformazione. È aderente: $v$ è perpendicolare a $1$ e gli angoli si conservano, quindi $vu$ è perpendicolare a $u$. Non manca mai: se $vu$ fosse zero avrebbe modulo zero, ma $|vu|=|v|\neq 0$. E cambia con continuità, perché $vu$ dipende da $u$ in modo lineare. Al variare di $u$ su tutta la sfera i peli ci sono tutti, aderenti e continui: la sfera è pettinata, senza chieriche.

Questo contraddice il teorema della palla pelosa. Non può quindi esistere un’algebra di divisione normata di dimensione 3 con queste proprietà.

Sulla circonferenza, invece, possiamo disporre i vettori tangenti tutti nello stesso verso di percorrenza, senza annullarne nessuno. In dimensione 2 questo ostacolo non c’è, ma la sua assenza da sola non dimostra l’esistenza dell’algebra.

Abbiamo dimostrato il collegamento fra l’esistenza dell’algebra e quella di un campo tangente continuo mai nullo sulla sfera. Il teorema della palla pelosa e quello di Hurwitz, da cui viene la tabella delle quattro algebre, restano risultati assunti senza dimostrazione.