Nota tecnica Dimensionamento dell'apparato di Stern-Gerlach

Il Capitolo 1 descrive l'apparato di Stern-Gerlach; questa nota mostra da dove vengono le sue misure. Si parte dalla formula della deflessione, se ne ricava la separazione dei due fasci, si vede quale vincolo fisico la limita e come aggirarlo, e si dimensionano infine il vuoto, la struttura meccanica e la rivelazione che ne conseguono.

1. Deflessione e parametri

La forza verticale sull'atomo è $F_z=\mu_z\,\partial B/\partial z$. Per un magnete di lunghezza $L$ seguito da un tratto di volo libero (deriva) $D$, lo spostamento sul vetrino è

$$z=\frac{\mu}{m}\,\frac{\partial B}{\partial z}\,\frac{L}{v^{2}}\left(\frac{L}{2}+D\right)$$

con $\mu=\mu_B=9{,}274\cdot10^{-24}$ J/T, $m_{\text{Ag}}=1{,}791\cdot10^{-25}$ kg e $v\approx600$ m/s, velocità più probabile del fascio effusivo a circa 1250 K. Ponendo $D=0$ si ritrova il caso in cui il vetrino è all'uscita del magnete.

2. Il compromesso traferro/gradiente

Il gradiente ottenibile scala all'incirca come $B/d$, dove $d$ è la larghezza del traferro. Con $d=25$ mm e la saturazione del ferro attorno a 2 T, il tetto fisico è di circa 1 T/cm; poiché gran parte della forza magnetomotrice è spesa per attraversare il traferro, in pratica si realizza $\partial B/\partial z\approx0{,}5$ T/cm. Un traferro largo è quindi sicuro per il fascio ma limita il gradiente: è questo equilibrio a fissare la separazione.

Con $\partial B/\partial z\approx0{,}5$ T/cm, argento a $v\approx600$ m/s ed espansioni lunghe $L=600$ mm ($D=0$): accelerazione $a\approx2{,}6\cdot10^{3}$ m/s², tempo di volo $t=L/v\approx1{,}0$ ms, deflessione $z\approx1{,}3$ mm per fascio, cioè una separazione complessiva di circa 2,6 mm — quindici volte lo sdoppiamento osservato da Stern e Gerlach nel 1922 (~0,2 mm). L'escursione del fascio dentro il traferro è di soli 1,3 mm sui 12,5 mm disponibili: il fascio non si avvicina mai alle espansioni.

Conviene fissare subito il tetto raggiungibile con questa geometria: per portare la separazione a 7 mm servirebbero $\sim2$ T/cm, cioè circa 5 T sulla punta polare con un traferro da 25 mm, fuori dalla portata del ferro. Con un traferro largo il millimetro è dunque l'ordine di grandezza a cui ci si deve fermare, ed è quello dichiarato nel capitolo.

3. Variante: magnete corto più tratto di deriva

Per andare oltre conviene spostare la lunghezza dal campo alla deriva: il tratto di volo libero dopo il magnete amplifica la separazione senza pagare il vincolo del traferro. L'altezza della camera (100 mm) lascia spazio a espansioni più massicce senza cambiare il disegno esterno, e riducendo il traferro a 10 mm il rapporto larghezza/traferro sale a circa 4, valore sufficiente a rendere il campo uniforme nella zona utile.

Parametro	Progetto attuale	Variante
Lunghezza espansioni	600 mm	250 mm
Traferro	25 mm	10 mm
∂B/∂z	~0,5 T/cm	~1,5 T/cm
Tratto di deriva	0	700 mm
Escursione in campo	1,3 mm	0,67 mm
Angolo di uscita	—	5,4 mrad
Separazione al vetrino	2,6 mm	8,9 mm
Amperspire	~25 000	~13 000

Verifica: $a=\mu_B\cdot150/m_{\text{Ag}}=7{,}77\cdot10^{3}$ m/s²; $t_\text{campo}=0{,}250/600=417$ µs; $z_\text{campo}=\tfrac12 a t^2=0{,}67$ mm; $\theta=a\,t/v=5{,}4$ mrad; $z_\text{deriva}=\theta\cdot0{,}700=3{,}78$ mm; $z_\text{tot}=0{,}67+3{,}78=4{,}45$ mm per fascio, ossia 8,9 mm di separazione. Le amperspire seguono da $N I=B\,d_\text{eff}/\mu_0$, con $d_\text{eff}$ che comprende il doppio spessore della parete inox attraversata dal flusso ($10+2\times3=16$ mm).

Vantaggi collaterali: magnete più corto e leggero, bobina di potenza dimezzata, tolleranza di parallelismo da mantenere su 250 mm invece che su 600, minore superficie interna da degassare.

4. Dimensionamento del vuoto

La pressione di lavoro si ricava dal rapporto fra il carico di degassamento, proporzionale alla superficie interna, e la velocità di pompaggio effettiva, limitata dalla conduttanza del condotto; il volume della camera pesa solo sul tempo di svuotamento iniziale. Con una superficie interna di circa 0,5 m² in acciaio inox il carico di gas è dell'ordine di $10^{-4}$ mbar·l/s; la conduttanza della camera (sezione 100 × 50 mm) è di circa 40 l/s. Una pompa turbomolecolare da 80 l/s dà una velocità effettiva $S_\text{eff}=(1/80+1/40)^{-1}\approx27$ l/s e quindi $p=Q/S_\text{eff}\approx4{,}5\cdot10^{-6}$ mbar, cui corrisponde un cammino libero medio di alcuni metri.

Il criterio da rispettare è $\lambda\gtrsim10\,L$: con $\lambda$ pari alla lunghezza del fascio sopravviverebbe solo il 37% degli atomi ($I/I_0=e^{-L/\lambda}$) e quelli diffusi ad angolo piccolo creerebbero un fondo che maschera lo sdoppiamento. Attenzione all'unità di misura: la specifica è $2\cdot10^{-5}$ mbar; $2\cdot10^{-5}$ bar sarebbero 2 Pa, cioè $\lambda\approx3$ mm, e il fascio non arriverebbe al vetrino. Pompando da entrambe le estremità si guadagna quasi un ordine di grandezza.

5. Note costruttive

Materiali. Il crogiolo è in allumina: il quarzo fuso si ammorbidisce già intorno ai ~1100 °C, cioè dentro l'intervallo di lavoro (1100÷1200 °C), necessario per portare la tensione di vapore dell'argento a un valore utile — fondere (961,8 °C) non basta. La camera è in acciaio inox AISI 316L: il 304 incrudito diventa leggermente ferromagnetico e perturberebbe il circuito magnetico.

Forze e struttura. La pressione magnetica $B^2/2\mu_0$ vale ~4 bar a 1 T; su una faccia polare di 250 × 40 mm sono circa 4 kN di attrazione fra le espansioni: servono distanziali rigidi, altrimenti il traferro si chiude sotto carico. Il parallelismo delle espansioni va garantito su tutta la lunghezza. Il gradiente, infine, va misurato o simulato (FEM), non assunto da una formula ideale, perché è la grandezza da cui si ricava il momento magnetico e ne determina l'incertezza.

Gravità. È trascurabile: in ~2,2 ms di volo su tutto il percorso gli atomi cadono di ~23 µm, cioè lo 0,3% della deflessione magnetica.

6. Rivelazione

Il deposito di argento, spesso pochi strati atomici, si sviluppa esponendo il vetrino a vapori di zolfo, che lo convertono in solfuro d'argento, scuro (la tecnica del 1922). Con l'argento non è invece applicabile il rivelatore a filo caldo (ionizzazione superficiale), perché il suo potenziale di ionizzazione (7,58 eV) è troppo elevato rispetto al lavoro di estrazione del tungsteno. Per questo nei laboratori didattici moderni si preferiscono il potassio o il cesio, che consentono la lettura del profilo del fascio in tempo reale.